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第一章 向量值函数的积分与向量值测度 1

1.1 向量值函数的微积分 2

1.1.1 向量值函数的连续性 2

1.1.2 向量值函数的可导性 4

1.1.3 向量值函数的Riemann积分 5

1.2 向量值可测函数 6

1.2.1 可测函数的定义 7

1.2.2 强可测与弱可测的关系 7

1.2.3 算子值可测函数 11

1.3 Bochner积分和Pettis积分 12

1.3.1 Pettis积分 13

1.3.2 Bochner积分 15

1.3.3 Bochner可积函数的性质 19

1.3.4 算子值函数的Bochner积分 25

1.4 向量值测度 27

1.4.1 向量值测度的基本概念 27

1.4.2 向量值测度的可列可加性 33

1.4.3 向量值测度的绝对连续性 35

1.4.4 Radon-Nikodym性质 38

1.4.5 具有Riesz表示的算子 41

1.4.6 关于Radon-Nikodym性质的附注 45

1.4.7 Vitali-Hahn-Saks定理 45

1.4.8 数值函数关于向量值测度的积分 47

第二章 算子半群 52

2.1 算子半群的概念 53

2.1.1 算子半群概念的由来 53

2.1.2 算子半群的一些例子 55

2.1.3 算子半群的可测性和连续性 58

2.2 C0类算子半群 63

2.2.1 C0类算子半群的基本概念 63

2.2.2 无穷小母元的预解式 65

2.2.3 C0类算子半群的表示 68

2.2.4 无穷小母元的特征 72

2.2.5 C0类压缩半群 75

2.3 算子半群的应用 76

2.3.1 Taylor公式的推广 77

2.3.2 抽象Cauchy问题 78

2.4 遍历理论 82

2.4.1 概述 82

2.4.2 遍历定理 84

2.4.3 推广的形式 89

2.4.4 算子半群的遍历定理 90

2.5 单参数算子群，Stone定理 96

2.5.1 半群成为群的条件 96

2.5.2 单参数酉算子群的Stone定理 98

2.5.3 Stone定理的应用：平稳随机过程 101

2.5.4 Stone定理的应用：平均遍历定理 103

第三章 拓扑线性空间 105

3.1 拓扑空间 105

3.1.1 邻域，序，网 106

3.1.2 拓扑的强弱、生成和分离公理 108

3.1.3 连续映射和Урысон引理 109

3.1.4 紧性 111

3.1.5 乘积拓扑，Тихонов定理 112

3.1.6 诱导拓扑和可度量化空间 114

3.2 拓扑线性空间 116

3.2.1 基本概念和性质 116

3.2.2 有限维线性空间的特征 120

3.2.3 线性连续算子和线性连续泛函 124

3.2.4 有界集和完全有界集 125

3.2.5 局部基的特征，商拓扑 126

3.2.6 完备集，完备性 129

3.2.7 线性度量空间 132

3.3 凸集与局部凸空间 133

3.3.1 集及凸集的分离定理 133

3.3.2 集的Minkowski泛函，线性泛函的延拓 136

3.3.3 局部凸空间 142

3.3.4 弱拓扑，商拓扑 147

3.3.5 弱*拓扑 150

3.3.6 端点，Крейн-Мильман定理，不动点定理 151

3.4 几种局部凸空间 156

3.4.1 囿空间 157

3.4.2 桶式空间 158

3.4.3 Mackey空间 160

3.4.4 赋范线性空间 166

3.4.5 B（H→H）的各种拓扑 181

3.4.6 归纳极限与投影极限 189

第四章 Banach代数 194

4.1 基本概念和性质，元的正则集及谱 194

4.1.1 代数，单位元，正则元，正则集及谱 194

4.1.2 Banach代数中元素的谱 197

4.1.3 元素在子代数中的谱 199

4.1.4 几个例子 201

4.2 Гельфанд表示，交换Banach代数 206

4.2.1 线性可乘泛函 206

4.2.2 Гельфанд表示 208

4.2.3 理想，极大理想 209

4.2.4 几个Banach代数上线性可乘泛函的形式 213

4.2.5 半单的Banach代数 217

4.3 对称Banach代数 218

4.3.1 对合 218

4.3.2 正泛函与表示 221

4.3.3 不可分解的正泛函与既约表示 224

4.4 C*代数 227

4.4.1 C*代数的基本性质 227

4.4.2 正常元的函数演算 231

4.4.3 谱分解定理 232

4.4.4 二次换位定理 236

4.4.5 正元 237

4.4.6 Kaplansky稠密性定理 241

4.4.7 正泛函，态与纯态 241

4.4.8 线性有界泛函的分解 246

4.4.9 纯态与可乘性 249

4.5 群代数 251

4.5.1 局部紧Hausdorff空间上的积分 251

4.5.2 局部紧群上的Haar积分 264

4.5.3 群代数 272

第五章 非线性映射 279

5.1 映射的微分 279

5.1.1 强微分 280

5.1.2 弱微分 282

5.1.3 高阶微分 287

5.1.4 Taylor公式 293

5.1.5 幂级数 295

5.2 隐函数定理 297

5.2.1 Cp映射 297

5.2.2 隐函数存在定理 298

5.2.3 隐函数的可微性 300

5.3 泛函极值 303

5.3.1 泛函极值的必要条件 303

5.3.2 泛函极值存在性的下半弱连续条件 303

5.3 最速下降法 306

5.3.4 泛函极值存在性的Palais-Smale条件 309

5.4 Brouwer度 312

5.4.1 C1类映射的拓扑度 312

5.4.2 几个引理 315

5.4.3 C1类映射的拓扑度（续） 319

5.4.4 连续映射的拓扑度及其性质 322

5.5 Leray-Schauder度 329

5.5.1 全连续映射 329

5.5.2 Leray-Schauder度的定义 331

5.5.3 Leray-Schauder度的性质 334

5.6 不动点定理 338

5.6.1 Brouwer不动点定理 338

5.6.2 Schauder不动点定理 338

5.6.3 集压缩映射的不动点 342

5.6.4 多值映射的不动点 345

参考文献 348

索引 349