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Ⅰ集合论 1

1基本概念 1

1．1集合与元素 1

1．2集合运算 2

1．2．1包含关系 2

1．2．2基本运算 3

1．3集合的极限 7

1．4直积 10

2关系与映射 12

2．1关系定义 12

2．2映射定义 14

2．3关系矩阵和关系图 17

2．4序关系与等价关系 18

3集合的势 23

3．1基数概念 23

3．2皮亚诺公理 24

3．3ω递归 24

3．4势 27

4点集 32

4．1距离空间 32

4．2收敛点列 37

4．3欧氏空间中的点集 39

4．4基本定理 45

4．5零集 48

4．5．1p进小数 48

4．5．2康托尔集 50

4．5．3直线上的零集 52

Ⅱ代数学 55

5代数系统 55

5．1代数系统定义 55

5．2同态与同构 58

5．3商代数系统 61

6群 63

6．1群定义 63

6．2子群和陪集 66

6．3群同态定理 71

6．4集合上的变换群 77

6．5置换群和循环群 79

7环与域 87

7．1环定义和域定义 87

7．2多项式环 92

7．3环和域的特征 93

7．4扩域 96

7．5有序环和有序域 99

7．6交错代数 103

8格论 109

8．1格定义 109

8．2格性质 112

8．3特殊格 117

8．4布尔代数和纽曼代数 121

9多重线性代数 127

9．1对偶空间 127

9．2多重线性变换 129

9．3线性空间的张量积与直和 132

9．4张量代数和外代数 136

9．5E（V）的线性变换和对偶 145

10李代数 148

10．1李代数定义 148

10．2单李代数和半单李代数 153

10．3嘉当内积 157

Ⅲ图论 161

11图的基本概念 161

11．1图定义 161

11．2路与回路 166

11．3图代数 170

11．3．1图运算 170

11．3．2图的矩阵表示 171

11．3．3图的线性空间 179

11．3．4图同构和图同调 180

12特殊图 183

12．1欧拉图和哈密顿图 183

12．2平面图 189

12．2．1平面图定义 189

12．2．2库拉托夫斯基定理 192

12．3对偶图 193

13树 204

13．1树定义 204

13．2生成树 207

13．3二叉树 209

13．4生成树的生成 212

13．5优美树 219

Ⅳ数理逻辑 223

14命题逻辑 223

14．1命题 223

14．2命题逻辑的形式化 226

14．3范式 238

14．4命题演算和集合 245

14．5命题逻辑的公理系统 246

15谓词逻辑 251

15．1谓词和量词 251

15．2谓词逻辑的形式化 254

15．3谓词逻辑的公理系统 258

15．4范式 262

16Herbrand定理 264

16．1公理化理论的基本思想 264

16．2判定问题 265

16．3Herbrand定理的证明 266

Ⅴ丢番图方程 275

17贝尔方程 275

17．1贝尔方程的基本解 275

17．1．1一次不定方程 275

17．1．2勾股数 277

17．1．3贝尔方程的解 278

17．2方程x2—Dy2＝M解的结构 283

18二次域和不定方程 285

18．1OK的理想类数 285

18．2三角和 288

18．3实二次域与贝尔方程 298

18．4费尔马方程 301

参考文献 305

术语索引 306