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第6章 向量与空间解析几何 1

6.1 空间直角坐标系与向量的概念 1

6.1.1 空间直角坐标系 1

6.1.2 向量及其线性运算 3

思考题6.1 5

习 题6.1 5

6.2 向量的代数表示 6

6.2.1 向量在轴上的投影 6

6.2.2 向量的坐标表示式 7

6.2.3 向量的方向余弦及其代数表示 8

习题6.2 10

6.3 两向量的数量积与向量积 10

6.3.1 两向量的数量积 10

6.3.2 两向量的向量积 12

思考题6.3 15

习 题6.3 15

6.4 平面与空间直线 16

6.4.1 平面方程 16

6.4.2 空间直线方程 19

思考题6.4 22

习 题6.4 22

6.5 曲面与空间曲线 22

6.5.1 曲面与空间曲线的一般概念 22

6.5.2 母线平行于坐标轴的柱面方程 25

6.5.3 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 26

思考题6.5 27

习 题6.5 28

6.6 常见二次曲面 28

6.6.1 椭球面 28

6.6.2 单叶双曲面 30

6.6.3 双叶双曲面 30

6.6.4 二次锥面 31

6.6.5 椭圆抛物面 32

6.6.6 双曲抛物面（马鞍面） 32

习 题6.6 33

复习题六 33

第7章 多元函数微分学 35

7.1 多元函数及其极限与连续 35

7.1.1 平面点集 35

7.1.2 二元函数的概念 37

7.1.3 二元函数的极限与连续 40

思考题7.1 42

习题7.1 43

7.2 偏导数 43

7.2.1 偏导数的概念 43

7.2.2 高阶偏导数 46

思考题7.2 48

习 题7.2 48

7.3 全微分 49

7.3.1 全微分的概念 49

7.3.2 全微分存在的条件 50

思考题7.3 52

习题7.3 52

7.4 多元复合函数的微分法 52

7.4.1 多元复合函数的链式求导法则 53

7.4.2 全微分形式不变性 56

习题7.4 58

7.5 隐函数微分法 58

7.5.1 由方程F（x，y）＝0所确定的隐函数y＝y（x）的求导公式 58

7.5.2 由方程F（x，y，z）＝0所确定的隐函数z＝z（x，y）的偏导数公式 59

7.5.3 方程组确定的隐函数求导举例 60

习题7.5 63

7.6 偏导数的几何应用与方向导数 63

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 63

7.6.2 曲面的切平面与法线 65

7.6.3 方向导数 67

习题7.6 69

7.7 多元函数的极值及其应用 70

7.7.1 多元函数的极值 70

7.7.2 条件极值 73

7.7.3 建模举例 74

习 题7.7 76

复习题七 77

第8章 重积分 79

8.1 二重积分的概念与性质 79

8.1.1 背景材料 79

8.1.2 二重积分的定义 80

8.1.3 二重积分的性质 81

思考题 8.1 82

习 题8.1 82

8.2 二重积分的计算 83

8.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 83

8.2.2 在极坐标系下计算二重积分 88

8.2.3 二重积分简单应用举例 92

思考题8.2 93

习题8.2 94

8.3 三重积分 95

8.3.1 三重积分的概念 95

8.3.2 三重积分的计算 96

习题8.3 102

8.4 重积分的应用 103

8.4.1 利用二重积分计算曲面面积 103

8.4.2 重积分在力学中的应用 105

习题8.4 108

复习题八 109

第9章 曲线积分与曲面积分 111

9.1 第一型曲线积分 111

9.1.1 第一型曲线积分的概念 111

9.1.2 第一型曲线积分的性质 112

9.1.3 第一型曲线积分的计算 113

习 题9.1 116

9.2 第二型曲线积分 116

9.2.1 第二型曲线积分的概念 116

9.2.2 第二型曲线积分的计算 119

习 题9.2 123

9.3 格林（Green）公式及平面曲线积分与路径无关的条件 124

9.3.1 预备知识 124

9.3.2 格林公式 125

9.3.3 平面曲线积分与路径无关的条件 129

9.3.4 全微分方程 132

习题9.3 133

9.4 第一型曲面积分 133

9.4.1 第一型曲面积分的概念 133

9.4.2 第一型曲面积分的计算 134

习 题9.4 136

9.5 第二型曲面积分 137

9.5.1 第二型曲面积分的概念 137

9.5.2 第二型曲面积分的计算 140

思考题9.5 142

习题9.5 142

9.6 高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式空间曲线积分与路径无关的条件 143

9.6.1 高斯公式 143

9.6.2 斯托克斯公式 146

9.6.3 空间曲线积分与路径无关的条件 147

思考题9.6 148

习题9.6 148

9.7 场论初步 149

9.7.1 场的概念 149

9.7.2 数量场的等量（值）面和梯度 150

9.7.3 向量场的流量与散度 152

9.7.4 向量场的环流量和旋度 154

9.7.5 常见向量场简介 157

习题9.7 158

复习题九 159

第10章 无穷级数 161

10.1 无穷级数的概念与性质 161

10.1.1 无穷级数的概念 161

10.1.2 数项级数的性质 163

思考题10.1 164

习题10.1 165

10.2 正项级数 165

10.2.1 正项级数收敛的充分必要条件 165

10.2.2 正项级数敛散性的比较判别法 166

10.2.3 正项级数敛散性的比值判别法 169

10.2.4 正项级数敛散性的根值判别法 170

思考题10.2 171

习题10.2 171

10.3 任意项级数 172

10.3.1 交错级数 172

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 173

习 题10.3 175

10.4 幂级数的一般概念 175

10.4.1 函数项级数的概念 175

10.4.2 幂级数的概念 176

10.4.3 幂级数的性质 179

思考题10.4 181

习 题10.4 181

10.5 初等函数展开为幂级数 181

10.5.1 对泰勒公式的回顾 181

10.5.2 将函数展成幂级数 182

思考题10.5 187

习题10.5 187

10.6 数项级数及幂级数的应用举例 187

10.6.1 p进制无限循环小数怎样化分数 187

10.6.2 几个典型无理数的近似计算 189

10.6.3 经济中的乘子效应 190

习 题10.6 191

10.7 傅里叶级数 191

10.7.1 傅里叶级数的概念 191

10.7.2 在［-π，π］上的傅里叶级数 193

10.7.3 在［0，π］上的傅里叶级数 197

10.7.4 在［-l，l］上的傅里叶级数 199

习 题10.7 201

复习题十 201

习题及复习题参考答案（下） 204

附录 216

参考文献 220