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第1章 函数的极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数的定义 2

1.1.3 函数的几何性质 5

1.1.4 反函数 7

1.1.5 复合函数 8

1.1.6 基本初等函数与初等函数 9

1.2 数列的极限 11

1.2.1 数列的概念 11

1.2.2 数列极限的定义 12

1.2.3 数列极限的性质 16

1.2.4 数列极限存在的准则 17

1.2.5 数列的子列 19

1.3 函数的极限 21

1.3.1 自变量趋向于无穷大时函数的极限 21

1.3.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 22

1.3.3 函数极限的性质 25

1.3.4 函数极限存在的准则 25

1.4 无穷小量与无穷大量 26

1.4.1 无穷小量 26

1.4.2 无穷大量 28

1.5 极限的运算法则 29

1.5.1 极限的四则运算法则 29

1.5.2 运用极限的四则运算法则求极限举例 30

1.5.3 复合函数的极限法则 37

1.6 两个重要极限 40

1.6.1 limx→0 sinx/x＝1 40

1.6.2 limx（1＋1/x）x→0＝e 43

1.7 无穷小量阶的比较 48

1.7.1 无穷小量阶的比较定义 49

1.7.2 无穷小量的等价替代 50

1.8 函数的连续性与间断点 54

1.8.1 函数的连续性 54

1.8.2 函数的间断点 57

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 61

1.9.1 连续函数的运算 61

1.9.2 初等函数的连续性 61

1.9.3 闭区间上连续函数的性质 63

综合练习题一 65

第2章 导数与微分 68

2.1 导数的概念 68

2.1.1 引例 68

2.1.2 导数的定义 70

2.1.3 导数的几何意义 76

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 77

2.2 导数的运算法则 80

2.2.1 导数的四则运算法则 81

2.2.2 反函数的求导法则 83

2.2.3 复合函数的求导法则 84

2.3 隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法 90

2.3.1 隐函数的求导法 90

2.3.2 由参数方程所确定的函数的求导法 92

2.3.3 由极坐标方程所确定的函数的求导法 94

2.3.4 相关变化率 95

2.4 函数的微分 97

2.4.1 微分的定义 97

2.4.2 可微与可导的关系 98

2.4.3 基本初等函数的微分公式 99

2.4.4 微分的运算法则 100

2.4.5 微分的几何意义 103

2.4.6 微分在近似计算中的应用 104

2.5 高阶导数与高阶微分 106

2.5.1 高阶导数 106

2.5.2 高阶微分 112

综合练习题二 114

第3章 微分中值定理与导数的应用 117

3.1 微分中值定理 117

3.1.1 费马（Fermat）引理 117

3.1.2 罗尔（Rolle）中值定理 118

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 119

3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 122

3.2 洛必达法则 123

3.2.1 洛必达法则 123

3.2.2 其他类型的未定式 125

3.2.3 需要注意的问题 127

3.3 泰勒公式 129

3.3.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式 130

3.3.2 带有佩亚诺余项的泰勒公式 132

3.4 函数的单调性与极值 134

3.4.1 函数的单调性 134

3.4.2 函数的极值 137

3.4.3 函数的最大值和最小值 142

3.5 曲线的凹凸、拐点与渐近线 146

3.5.1 曲线的凹凸与拐点 146

3.5.2 曲线的渐近线 151

3.5.3 函数图形的描绘 152

3.6 平面曲线的曲率 155

3.6.1 弧微分 156

3.6.2 曲率及其计算 157

3.6.3 曲率圆与曲率半径 161

综合练习题三 163

第4章 积分 167

4.1 定积分的概念与性质 167

4.1.1 定积分问题举例 167

4.1.2 定积分的定义 169

4.1.3 定积分的几何意义 171

4.1.4 定积分的性质 172

4.2 原函数与微积分基本定理 177

4.2.1 原函数 177

4.2.2 积分上限的函数及其导数 179

4.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 183

4.3 不定积分的概念 186

4.3.1 不定积分的定义 186

4.3.2 不定积分与微分的关系 187

4.3.3 不定积分的性质 189

4.3.4 不定积分的几何意义 189

4.3.5 不定积分的直接积分法 190

4.4 不定积分的换元积分法 192

4.4.1 第一类换元积分法 193

4.4.2 第二类换元积分法 201

4.5 不定积分的分部积分法及分段函数的不定积分 209

4.5.1 不定积分的分部积分法 209

4.5.2 分段函数的不定积分 214

4.6 有理函数的不定积分 215

4.6.1 有理函数的不定积分 215

4.6.2 三角函数有理式的积分 223

4.7 定积分的换元法和分部积分法 226

4.7.1 定积分的换元积分法 226

4.7.2 定积分的分部积分法 230

4.8 广义积分与Γ函数 233

4.8.1 无穷区间上的广义积分 233

4.8.2 无界函数的广义积分 235

4.8.3 Γ函数 238

综合练习题四 240

第5章 定积分的应用 244

5.1 微元法 244

5.2 定积分的几何应用 245

5.2.1 平面图形的面积 245

5.2.2 体积 249

5.2.3 平面曲线的弧长 252

5.3 定积分的物理应用 255

5.3.1 变力沿直线所做的功 255

5.3.2 液体的压力 256

综合练习题五 257

第6章 微分方程 259

6.1 微分方程的基本概念 259

6.2 一阶微分方程 262

6.2.1 可分离变量的微分方程 262

6.2.2 齐次方程 265

6.2.3 一阶线性微分方程 267

6.2.4 伯努利（Bernoulli）方程 271

6.3 可降阶的高阶微分方程 274

6.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 274

6.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 275

6.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 276

6.4 二阶常系数线性微分方程 278

6.4.1 二阶线性微分方程的解的结构 278

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 280

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 284

综合练习题六 290

附录 293

常用初等数学公式 293

习题与综合练习题参考答案 299

参考文献 321