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第1章 函数与极限 1

1.1 集合 映射 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 2

1.1.3 函数 3

习题1.1 10

1.2 隐函数 参数方程 极坐标 11

1.2.1 隐函数 11

1.2.2 参数方程 11

1.2.3 极坐标 13

习题1.2 15

1.3 数列的极限 16

1.3.1 数列的概念 17

1.3.2 数列极限的描述定义 17

1.3.3 收敛数列的性质 18

1.3.4 数列极限的精确定义 19

习题1.3 21

1.4 函数的极限 21

1.4.1 函数极限的描述定义 21

1.4.2 函数极限的性质 24

1.4.3 函数极限的精确定义 24

习题1.4 27

1.5 无穷小 无穷大 渐近线 27

1.5.1 无穷小 27

1.5.2 无穷大 28

1.5.3 渐近线 29

1.5.4 无穷小无穷大的精确定义 31

习题1.5 33

1.6 极限运算法则 33

1.6.1 极限的四则运算法则 33

1.6.2 复合函数的极限运算法则 35

1.6.3 定理的证明 37

习题1.6 38

1.7 极限存在准则与两个重要极限 39

1.7.1 夹逼准则及应用 39

1.7.2 单调有界准则及应用 42

1.7.3 相关结论的证明 44

习题1.7 46

1.8 无穷小的比较 47

1.8.1 无穷小的比较的定义 47

1.8.2 等价无穷小 48

1.8.3 等价无穷小的运算 49

习题1.8 50

1.9 函数的连续性与间断点 51

1.9.1 函数的连续性 51

1.9.2 函数的间断点 53

习题1.9 55

1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性 55

1.10.1 连续函数的四则运算 55

1.10.2 反函数与复合函数的连续性 56

1.10.3 初等函数及其连续性 57

习题1.10 58

1.11 闭区间上连续函数的性质 59

1.11.1 最大值最小值定理 59

1.11.2 零点定理与介值定理 60

习题1.11 61

总习题1 61

第2章 导数与微分 63

2.1 导数 63

2.1.1 引例 63

2.1.2 导数的概念 64

2.1.3 导数的几何意义 67

2.1.4 可导与连续的关系 68

习题2.1 69

2.2 函数的求导法则 70

2.2.1 导数的四则运算法则 70

2.2.2 反函数的求导法则 72

2.2.3 复合函数的求导法则 73

习题2.2 76

2.3 高阶导数 77

2.3.1 高阶导数的定义 77

2.3.2 高阶导数的求导法则 79

习题2.3 80

2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数及相关变化率 80

2.4.1 隐函数的导数 80

2.4.2 由参数方程确定的函数的导数 83

2.4.3 相关变化率 85

习题2.4 87

2.5 函数的微分 88

2.5.1 微分概念 88

2.5.2 微分的几何意义 90

2.5.3 基本初等函数的微分公式 90

2.5.4 弧微分 92

2.5.5 微分在近似计算中的应用 93

习题2.5 94

总习题2 95

第3章 微分中值定理与导数的应用 97

3.1 微分中值定理 97

3.1.1 费马引理 97

3.1.2 罗尔中值定理 97

3.1.3 拉格朗日中值定理 98

3.1.4 柯西中值定理 100

习题3.1 102

3.2 洛必达法则 103

3.2.1 0/0型不定式 103

3.2.2 ∞/∞型不定式的极限 105

3.2.3 其他类型不定式的极限 105

习题3.2 108

3.3 泰勒公式 109

3.3.1 泰勒公式的几种形式 109

3.3.2 泰勒公式的证明和应用 112

习题3.3 114

3.4 函数的单调性与极值最值 114

3.4.1 函数的单调性 114

3.4.2 函数的极值 116

3.4.3 函数的最值 119

习题3.4 121

3.5 曲线的凹凸性与拐点 122

3.5.1 曲线的凹凸性 122

3.5.2 曲线的拐点 124

习题3.5 126

3.6 函数图形的描绘 126

习题3.6 128

3.7 曲率 129

3.7.1 曲率的概念 129

3.7.2 曲率圆和曲率半径 131

习题3.7 132

总习题3 132

第4章 不定积分 136

4.1 不定积分的概念与性质 136

4.1.1 原函数与不定积分 136

4.1.2 基本积分表 139

4.1.3 不定积分的性质 140

习题4.1 143

4.2 不定积分的换元积分法 144

4.2.1 不定积分的第一类换元积分法 144

4.2.2 不定积分的第二类换元积分法 150

习题4.2 156

4.3 不定积分的分部积分法 157

习题4.3 162

4.4 有理函数与可化为有理函数的积分举例 162

4.4.1 有理真分式与部分分式 162

4.4.2 有理函数的积分举例 163

4.4.3 可化为有理函数的积分举例 165

习题4.4 168

总习题4 169

第5章 定积分 171

5.1 定积分的概念 171

5.1.1 定积分问题举例 171

5.1.2 定积分的定义与几何意义 174

5.1.3 定积分的基本性质 176

习题5.1 181

5.2 微积分学基本公式 181

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 182

5.2.2 变上限函数的导数与原函数存在定理 182

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 184

习题5.2 187

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 188

5.3.1 定积分的换元积分法 188

5.3.2 定积分的分部积分法 192

习题5.3 195

5.4 广义积分 196

5.4.1 无限区间上的广义积分 196

5.4.2 无界函数的广义积分 199

5.4.3 伽马函数简介 201

习题5.4 203

总习题5 204

第6章 定积分的应用 206

6.1 定积分的微分元素法 206

6.2 定积分的几何应用 207

6.2.1 平面图形的面积 207

6.2.2 立体图形的体积 210

6.2.3 平面曲线的弧长 213

6.2.4 旋转曲面的面积 215

习题6.2 216

6.3 定积分的物理应用 217

6.3.1 变力沿直线所做的功 217

6.3.2 液压力（侧压力） 218

6.3.3 万有引力 219

习题6.3 220

6.4 定积分的经济应用 221

6.4.1 经济总量与边际函数 221

6.4.2 收益流的现值与将来值 223

习题6.4 225

总习题6 225

第7章 常微分方程 227

7.1 微分方程的基本概念 227

习题7.1 229

7.2 一阶微分方程及其解法 230

7.2.1 可分离变量的微分方程 230

7.2.2 齐次方程 232

7.2.3 一阶线性微分方程 233

7.2.4 伯努利方程 237

习题7.2 238

7.3 可降阶的高阶微分方程 240

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程 240

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程 240

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程 242

习题7.3 244

7.4 高阶线性微分方程解的结构 244

7.4.1 函数组的线性相关与线性无关 244

7.4.2 齐次线性微分方程解的结构 245

7.4.3 非齐次线性微分方程解的结构 246

习题7.4 247

7.5 常系数齐次线性微分方程 247

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 247

7.5.2 n阶常系数齐次线性微分方程 250

习题7.5 251

7.6 常系数非齐次线性微分方程 252

7.6.1 f（x）=P（x）eλx型 252

7.6.2 f（x）=eλx [Pι（x）cosωx＋Pn（x）sinωx]型 254

习题7.6 256

总习题7 256

习题答案与提示 258

附录1 三角函数公式 277

附录2 二阶和三阶行列式简介 279

附录3 几种常用的曲线 283

附录4 积分表 286