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第1章 引言 1

1.1 问题背景和主要结果 1

1.1.1 Self-shrinker的体积增长估计 3

1.1.2 Self-shrinker的分类 5

1.1.3 Self-shrinker的F-稳定性 7

1.1.4 曲率流的非坍塌估计 9

1.1.5 曲率流在证明几何不等式中的应用 11

1.2 结构安排与内容方法 14

第2章 预备知识 17

2.1 Self-shrinker的例子 17

2.2 活动标架法 21

2.3 Self-shrinker的Simons型公式 22

2.4 非坍塌估计的几何意义 27

2.5 曲率流的演化方程 29

第3章 Self-shrinker的体积增长估计 35

3.1 Self-shrinker的体积增长上界估计 35

3.2 Self-shrinker的体积增长下界估计 38

第4章 Self-shrinker的分类 49

4.1 Self-shrinker的光滑性估计 49

4.2 定理1.2的证明 52

4.3 高余维self-shrinker的刚性定理 62

4.3.1 余维数为2的self-shrinker 63

4.3.2 维数为2的self-shrinker 65

4.3.3 法联络平坦的self-shrinker 67

第5章 Self-shrinker的F-稳定性 69

5.1 F-泛函的一阶变分公式 69

5.2 F-泛函的二阶变分公式 72

5.3 F-稳定性和二次型I的特征值 75

5.4 闭self-shrinkers的F-稳定性 77

5.5 完备非紧致self-shrinkers的F-稳定性 84

第6章 空间形式中曲率流的非坍塌估计 89

第7章 逆曲率流在证明几何不等式中的应用 95

7.1 在逆曲率流下单调的几何量 95

7.2 单调几何量的渐近估计 96

7.3 定理1.8的证明 99

第8章 结论 101

8.1 本论文的主要工作 101

8.2 可进一步开展的研究工作 102

参考文献 105

在学期间发表的学术论文 115

致谢 117