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绪论 1

第1章 预备知识 7

1.1逻辑基础 7

1.1.1语句真假判定 7

1.1.2表达式及其语义解释 12

1.2集合论基础 21

1.2.1属于与相等 21

1.2.2基本存在性 25

1.2.3函数 29

1.2.4 函数半群 32

1.2.5置换群 34

1.2.6等价关系 40

1.2.7势比较 43

1.2.8练习 44

1.3自然数有序集合 45

1.3.1递归定义定理 53

1.3.2自然数有序半环 60

1.3.3自然数数组有序加法半群 73

1.3.4 练习 82

1.4有限集与无限集 84

1.4.1有限集合 84

1.4.2 自然数平面之势 86

1.4.3连续统势 87

1.4.4练习 88

1.5 有限置换群 89

1.5.1置换分解与置换符号 90

1.5.2群同态与同构 101

1.5.3置换群分类与包络定理 105

1.5.4练习 109

第2章 整数与分数 113

2.1整数有序环 113

2.1.1整数及其算术运算 113

2.1.2整数算术基本定理 122

2.1.3循环群 131

2.1.4练习 135

2.2同余类环和域 136

2.3整系数多项式环 142

2.3.1单变元项及单变元多项式函数 143

2.3.2函数环 150

2.3.3多变元项及多元多项式函数 151

2.3.4练习 155

2.4有理数有序域 155

2.4.1有理数及其算术运算 155

2.4.2有理数序特征 163

2.4.3素数开方问题 167

2.4.4练习 168

2.5有理平面有序域 170

2.5.1线性结构 171

2.5.2正方根乘法 190

2.5.3练习 197

2.6有理系数多项式环 199

2.6.1有理数值函数环 200

2.6.2 单变元项与单变元多项式函数 202

2.6.3 n-变元项及其n-元多项式函数解释 204

2.6.4分式域 208

2.7练习 211

第3章 实数与复数 214

3.1实数 214

3.1.1实数及其序 214

3.1.2实数代数运算 216

3.2实数结构代数特性 225

3.2.1实系数多项式环 225

3.2.2实线性函数 233

3.2.3实数结构基本代数特性 234

3.2.4练习 239

3.3实平面R2 241

3.3.1线性运算 242

3.3.2实线性函数 247

3.3.3度量 248

3.3.4可构造数域K 250

3.3.5 练习 258

3.4方阵空间M2（R） 258

3.4.1二维实线性映射 258

3.4.2线性空间M2 （R） 260

3.4.3二阶行列式 265

3.4.4线性单射与满射 268

3.4.5四元数体 273

3.4.6练习 280

3.5复数 281

3.5.1复数集合及其代数运算 281

3.5.2复系数多项式环 287

3.5.3复数域代数封闭性 294

3.6练习 297

第4章 多项式整环 299

4.1序列多项式环 299

4.2多变元多项式 308

4.2.1序列多元多项式环 308

4.2.2多元对称函数子环和对称多项式子环 315

4.3因式分解 320

4.3.1因式 321

4.3.2因式分解唯一性 326

4.4多项式不可约性 334

4.4.1有理系数不可约多项式 334

4.4.2根与线性因子 340

4.4.3实系数和复系数不可约多项式 349

4.4.4 根与系数的关系 354

4.4.5练习 365

第5章 M3（R）与M34 （R） 368

5.1矩阵空间M3（R） 368

5.1.1线性运算 369

5.1.2矩阵乘法 370

5.1.3三元实线性方程组 374

5.1.4三阶行列式 396

5.2 R3 407

5.2.1线性运算 407

5.2.2线性独立性 409

5.2.3度量 412

5.2.4叉积 414

5.2.5三元实线性函数与实线性算子 418

5.2.6练习 421

5.2.7附录：行列式几何解释 423

第6章 矩阵空间Mmn（F） 431

6.1矩阵与向量 431

6.1.1线性运算 432

6.1.2矩阵乘法 434

6.2线性方程组 437

6.3线性空间Fn 444

6.4矩阵与线性映射 455

6.5行列式函数 486

6.6练习 522

第7章 线性空间与线性映射 533

7.1线性空间 533

7.1.1线性子空间 534

7.1.2直和分解 541

7.2线性同构与自同构 549

7.2.1坐标映射 550

7.2.2自同构 552

7.2.3练习 555

7.3线性映射 561

7.4线性函数 572

7.4.1对偶空间L1 （Fn，F） 574

7.4.2对偶空间L1 （V，F） 576

7.4.3练习 588

7.5线性算子 590

7.5.1算子代数 590

7.5.2 可逆线性算子 595

7.5.3相似性 597

7.5.4标准计算矩阵 601

7.5.5李代数简介 655

7.5.6练习 656

第8章 多重线性函数 664

8.1双线性函数 664

8.1.1对称双线性函数与二次型 672

8.1.2二次型标准化方法 681

8.1.3实二次型 686

8.1.4斜对称双线性型 697

8.1.5练习 705

8.2 Rn上的共变张量 713

8.3抽象张量 719

8.3.1张量与张量空间 720

8.3.2张量积 723

8.3.3张量代数 740

8.3.4斜对称张量外积代数 742

8.3.5练习 760

第9章 内积空间 763

9.1实欧几里得空间 763

9.1.1实对称正定双线性型 763

9.1.2实度量 765

9.1.3正交性 767

9.1.4练习 784

9.2复内积空间 788

9.2.1埃尔米特型 788

9.2.2复度量 791

9.2.3正交性 791

9.3内积空间算子理论 793

9.3.1线性算子与共轭线性函数 794

9.3.2自伴算子 797

9.3.3保距算子 799

9.3.4规范算子 805

9.3.5练习 815

第10章 几何向量空间 820

10.1仿射空间 820

10.2练习 838

10.3欧几里得空间 840

10.4练习 861

10.5射影空间 863

10.6练习 866

10.7罗巴切夫斯基空间 867

10.8闵可夫斯基空间 870

参考文献 876

索引 877

《现代数学基础丛书》已出版书目 883