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第8章 向量代数与空间解析几何 1

8.1 向量及其线性运算 1

一、向量的有关概念 1

二、向量的线性运算 2

三、向量的坐标表示 4

四、向量的模和方向余弦的坐标表示式 10

8.2 向量的数量积、向量积、混合积 13

一两向量的数量积 13

二、两向量的向量积 15

三、向量的混合积 18

8.3 平面及其方程 20

一、曲面方程的概念 20

二、平面及其方程 22

8.4 空间直线及其方程 27

一、空间直线的对称式方程与参数方程 27

二、直线的一般式方程 28

三、两直线的夹角 29

四、直线与平面的夹角 30

五、平面束 32

六、点到直线的距离 34

8.5 几种常见的二次曲面 35

一、旋转曲面 36

二、柱面 38

三、椭球面 40

四、抛物面 41

五、双曲面 42

8.6 空间曲线及其方程 45

一、空间曲线的一般方程 45

二、参数方程 46

三、空间曲线在坐标面上的投影 47

小结 50

复习练习题8 51

第9章 多元函数微分学 53

9.1 多元函数的概念 53

一、平面点集和区域 53

二、多元函数的概念 56

三、多元函数的极限 59

四、多元函数的连续性 61

9.2 偏导数 64

一、偏导数的定义及其求法 64

二、二元函数偏导数的几何意义 67

三、高阶导数 67

9.3 全微分 70

一、全微分的定义 70

二、函数可微的条件 71

三、全微分在近似计算中的应用 74

9.4 多元复合函数求导法则 76

一、复合函数的全导数 77

二、复合函数的偏导数 78

三、一阶全微分形式不变性 81

9.5 隐函数的求导公式 83

一、一个方程的情形 83

二、方程组的情形 86

9.6 多元函数微分学的几何应用 90

一、空间曲线的切线与法平面 90

二、曲面的切平面与法线 92

9.7 方向导数与梯度 95

一、方向导数 95

二、梯度 98

9.8 多元函数的极值及应用 103

一、多元函数的极值 103

二、多元函数的最大值、最小值 105

三、条件极值 106

9.9 二元函数的泰勒公式 110

一、二元函数的泰勒公式 110

二、二元函数极值存在的充分条件证明 113

小结 115

复习练习题9 117

第10章 重积分 119

10.1 二重积分的概念与性质 119

一、引例 119

二、二重积分的定义 121

三、二重积分的性质 122

10.2 二重积分的计算 126

一、直角坐标系下的二重积分的计算 126

二、极坐标系下的二重积分计算 136

三、二重积分的换元法 143

10.3 三重积分 150

一、引例 150

二、三重积分的概念 151

三、直角坐标系下的三重积分计算 152

四、三重积分的变量代换 157

五、柱面坐标系下三重积分的计算 158

六、球面坐标系下的三重积分计算 161

10.4 重积分的应用 166

一、曲面的面积 166

二、质心和转动惯量 170

三、引力 172

小结 175

复习练习题10 176

第11章 曲线积分与曲面积分 178

11.1 对弧长的曲线积分 178

一、对弧长的曲线积分的概念 178

二、对弧长的曲线积分的计算 180

11.2 对坐标的曲线积分 186

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 186

二、对坐标的曲线积分的计算 190

三、两类曲线积分之间的联系 195

11.3 格林（Green）公式及其应用 199

一、格林（Green）公式 199

二、平面曲线积分与路径无关的条件 206

三、全微分方程 212

11.4 对面积的曲面积分 216

一、对面积的曲面积分的概念与性质 216

二、对面积的曲面积分的计算 217

11.5 对坐标的曲面积分 223

一、曲面的定向 223

二、流体流向曲面一侧的流量 224

三、对坐标的曲面积分的概念与性质 226

四、对坐标的曲面积分的计算 227

五、两类曲面积分之间的联系 231

11.6 高斯（Gauss）公式 通量与散度 235

一、高斯（Gauss）公式 235

二、通量与散度 239

11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 243

一、斯托克斯（Stokes）公式 243

二、空间曲线积分与路径无关的条件 246

三、环流量与旋度 248

小结 251

复习练习题11 252

第12章 无穷级数 254

12.1 常数项级数的概念与性质 254

一、常数项级数的基本概念 254

二、常数项级数的基本性质 258

三、常数项级数收敛的必要条件 260

12.2 常数项级数的审敛法 262

一正项级数及其审敛法 262

二、交错级数及其审敛法 270

三、任意项级数及其审敛法 272

12.3 幂级数 279

一、函数项级数的基本概念 279

二、幂级数及其收敛性 281

三、幂级数的运算与性质 285

12.4 函数展开成幂级数 289

12.5 傅里叶级数 298

一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 299

二、非周期函数的傅里叶级数 305

12.6 以2l为周期的函数的傅里叶级数 309

小结 313

复习练习题12 314

附录1 Mathematica数学软件简介（下） 316

附录2 常见曲面 337

习题答案与提示 341