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绪论 万物皆数 1

一、“万物皆数”——毕达哥拉斯的哲学观 1

二、东方哲学家的呼应 4

三、“万物皆数”的现代意义 5

四、提高数学素养，做到心中有数 9

五、学会数学语言和数学表述方法的重要性 18

第一章 怎样学好数学 19

第一节 数学是什么 19

一、数学是人类文化的重要组成部分 19

二、数学的特点 20

第二节 为什么要学习数学 20

一、数学的价值 20

二、学习数学是全面提高自身素质的需要 21

三、学会数学地思考问题 22

第三节 数学：学与思的结合 22

第四节 如何阅读数学书籍 23

一、阅读数学书籍，基本要求是要能“理解”书上所说的道理 23

二、阅读数学书籍，必须要边读、边算、边推导 24

三、树立自学数学的信心，养成自学数学的良好习惯 24

第二章 数学语言与符号 26

第一节 数学语言 26

一、数学思维与数学语言 26

二、数学语言的特点 28

三、明确几个常用的数学关键词语 31

第二节 数学符号 35

一、基本符号 35

二、代数符号 36

三、几何符号 38

四、分析符号 39

五、使用数学符号应注意的几个问题 40

第三章 数学推理与证明 43

第一节 数学推理的意义 43

第二节 逻辑思维的基本规律 49

一、思维、逻辑与语言的关系 49

二、思维的基本特征 51

三、逻辑思维的基本类型 54

四、逻辑思维的基本形式 60

第三节 数学证明的文化意义 74

一、证明是社会的普遍需求 74

二、数学证明的文化意义 76

第四章 体验数学之美 78

第一节 什么是数学美 79

第二节 数学的和谐美及其应用 83

第三节 数学的对称美及其应用 84

第四节 数学的简捷美及其应用 86

第五节 数学的奇异美及其应用 90

第六节 黄金分割及其应用 92

一、黄金分割 92

二、黄金分割点的作法 92

三、黄金三角形 93

四、黄金矩形 96

五、正五角星 99

六、黄金分割在几何作图上的应用 99

七、黄金分割在摄影中的应用 101

第五章 解数学题的方法 105

第一节 解题的一般程序 105

一、问题解决的基本要求 105

二、问题解决的一般思考程序 106

三、问题解决的思考原则 107

第二节 解题的基本策略 110

一、从“1”开始 111

二、考虑特殊情况和极端情况 112

三、一分为几 113

四、等价变换 115

五、形数转化 117

第六章 数学题根与根题 122

第一节 数学题根概述 122

一、数学问题有“根”吗 122

二、数学题根是什么 123

三、数学题根的性质 124

四、数学题根的说明 124

五、课本中的题根、题干和题系 126

第二节 数学题根举例 127

一、递推数列题的题根 127

二、二元为多元之根——从集合{a，b}的子集谈起 134

第三节 根题引申与推广 147

一、根题引申 147

二、纵横推广 148

第七章 数学探究的方法 154

第一节 数学探究的意义 154

第二节 数学探究举例 156

一、欧拉线的发现与证明 156

二、对一道初中几何题的引申与探究 161

三、探究三角形垂心的性质 166

第八章 数学建模的方法 172

第一节 数学模型的意义 172

第二节 数学建模的一般步骤与注意事项 176

一、数学建模的一般步骤 176

二、数学建模的注意事项 177

第三节 数学建模举例 178

一、线路架设的优化设计 178

二、最佳运输方案的制订 182

三、易拉罐尺寸的优化设计 185

四、河流含沙量检测问题 187

五、极地航线问题 188

第九章 生活中处处有数学 196

第一节 彩票中的数学 196

一、电脑型体育彩票的中奖率和期望值 196

二、“安徽风采”电脑福利彩票的中奖率和期望值 199

第二节 网络中的数学 209

一、欧拉巧妙图解七桥问题 209

二、中国邮路问题 210

三、足球队排名与竞赛图 212

第三节 “干支纪年”中的数学 214

第四节 期望寿命中的数学 216

第五节 围棋中的数学 218

第六节 文学作品中的数学 220

一、掷骰子问题 220

二、生日问题 222

三、“鸡兔同笼”类问题 223

四、对联中的数学问题 224

第七节 商标设计中的数学 224

第八节 数学游戏中的数学 228

一、划分和覆盖 228

二、纵横图和填数游戏 232

三、逻辑与推理 235

后记 240