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1极限 1

1.1数列极限 1

1.1.1拟合法 1

1.1.2极限定义与Cauchy准则 3

1.1.3无穷小的应用 5

1.1.4单调有界定理 6

1.1.5子数列 8

1.1.6压缩映像定理 9

1.1.7两边夹法则 12

1.1.8两个数列间的关系 15

1.1.9递推形式的数列 16

1.1.10上极限与下极限 18

1.1.11求数列极限的其他方法 22

1.2函数极限 28

1.2.1归结原则 28

1.2.2等价无穷小代换 32

1.2.3复合函数的极限 34

1.2.4函数极限的计算 35

1.2.5函数方程 39

1.3 O.Stolz公式 41

1.3.1数列情形 41

1.3.2函数情形 44

习题1 47

2连续函数 49

2.1函数的连续性 49

2.2连续函数的性质 54

2.2.1函数在一点连续的性质 54

2.2.2在闭区间上连续函数的性质 56

2.3一致连续性 66

2.4实数的完备性 74

习题2 80

3导数及其应用 83

3.1导数与高阶导数 83

3.1.1求导原则 83

3.1.2导函数的性质 89

3.1.3高阶导数 93

3.1.4导数在求极限中的应用（L’Hospital法则） 95

3.1.5导数与数列的收敛 98

3.1.6解函数方程 99

3.2微分中值定理 100

3.2.1辅助函数 100

3.2.2Rolle定理及其推广 104

3.2.3待定常数法 105

3.2.4用微分中值定理证明不等式 106

3.2.5函数在无穷远处的极限 114

3.2.6中值定理与函数的一致连续 117

3.2.7中值点的极限 117

3.2.8中值的符号 119

3.2.9多个中值点的情形 119

3.2.10含中值的不等式 120

3.3Taylor公式 120

3.3.1在不等式证明中的应用 120

3.3.2导数的中值估计 121

3.3.3证明等式 125

3.3.4在无穷远处的极限 126

3.4导数的应用 127

3.4.1距离 127

3.4.2极值和最值 128

3.4.3切线 130

3.4.4零点 131

3.4.5函数恒为零 138

习题3 140

4一元函数的积分 144

4.1函数的可积性与可积函数的性质 144

4.1.1可积性的证明 144

4.1.2可积函数的性质 148

4.2积分与极限 151

4.3被积函数与变限积分 164

4.3.1被积分函数的性质 164

4.3.2变限积分 169

4.4积分变换与积分计算 174

4.5积分在几何与物理上的应用 179

4.6积分估值与积分不等式 182

习题4 193

5级数 196

5.1常数项级数 196

5.1.1正项级数 196

5.1.2变号级数 205

5.2一致收敛性 214

5.2.1一致收敛的判定 214

5.2.2一致收敛函数列与函数项级数的性质 225

5.3幂级数与Fourier级数 228

5.3.1幂级数 228

5.3.2Fourier级数 237

习题5 242

6广义积分和含参量积分 245

6.1广义积分的收敛性 245

6.1.1广义积分的定义和主要性质 245

6.1.2敛散性的判定 247

6.1.3广义积分的计算 254

6.1.4广义积分与无穷级数的关系 259

6.1.5广义积分的极限 261

6.2含参量的常义积分 265

6.2.1主要性质 265

6.2.2含参量常义积分的计算 266

6.3含参量的广义积分 272

6.3.1一致收敛的判定 272

6.3.2一致收敛广义积分的性质 278

习题6 288

7多元函数微分学 291

7.1多元函数的连续性与可微性 291

7.1.1多元函数的极限 291

7.1.2多元函数的连续性 292

7.1.3多元函数的可微性 295

7.1.4隐函数存在定理 301

7.2偏导数和全微分的计算 304

7.2.1复合函数的微分法 304

7.2.2微分方程的变量替换 307

7.2.3梯度与方向导数 314

7.3多元函数微分的应用 317

7.3.1函数在无穷远的极限 317

7.3.2函数的极值 318

7.3.3几何应用 330

习题7 332

8多元函数积分学 335

8.1二重积分与三重积分 335

8.1.1可积性与积分的换序 335

8.1.2二重积分与三重积分的计算 338

8.1.3重积分的极限 351

8.1.4重积分与不等式 354

8.2曲线积分 357

8.2.1曲线积分的计算 357

8.2.2求原函数 368

8.2.3曲线积分的应用 369

8.3曲面积分 369

8.3.1用公式计算曲面积分 369

8.3.2两类曲面积分的关系 375

8.3.3Gauss公式和Stokes公式 376

习题8 384

参考文献 387