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第1章 绪论 1

1.1Hilbert不等式与Hilbert算子 1

1.1.1Hilbert不等式与Hilbert算子的研究背景 1

1.1.2Hilbert不等式的精确化 3

1.1.3引入一对共轭指数的Hilbert不等式 4

1.1.4核为-1齐次的双线型不等式及其特例 6

1.1.5核为-n＋1齐次的多重不等式 9

1.2Hilbert不等式的近代研究 9

1.2.1Hilbert积分不等式的近代研究 9

1.2.2权系数的方法与Hilbert不等式的加强 11

1.2.3引入独立参数的Hilbert不等式 13

1.2.4参量化的Hilbert型不等式 15

1.3算子刻画与基本的Hilbert型不等式 18

1.3.1Hilbert型积分算子的近代研究 18

1.3.2基本的Hilbert型不等式 20

参考文献 23

第2章 预备性定理：关于Euler-Maclaurin公式的改进及应用 30

2.1级数求和的Euler-Maclaurin公式 30

2.1.1Bernou1li数 30

2.1.2Bernou1li多项式 31

2.1.3Bernou1li函数 32

2.1.4Euler-Maclaurin公式 33

2.2关于级数余项的估值式 35

2.2.1被积函数为4阶不变号的情况 35

2.2.2被积函数为2阶不变号的情况 38

2.2.3关于δq（m，n）的估值及一些实用不等式 41

2.3关于两类无穷级数的估值式 43

2.3.1一类收敛级数的估值式 43

2.3.2一类发散级数有限和的估值式 44

参考文献 51

第3章 参量化的Hilbert型积分不等式与算子表示 53

3.1不含共轭指数的Hilbert型积分不等式 53

3.1.1若干基本结果 53

3.1.2一些不含共轭指数的Hilbert型积分不等式的特例 57

3.1.3不含共轭指数的Hilbert型积分不等式的算子表示 63

3.1.4含参变量但不含共轭指数的Hilbert型积分不等式 64

3.2参量化的Hilbert型积分不等式及其逆式 67

3.2.1参量化的Hilbert型积分不等式与算子表示 67

3.2.2逆向的Hilbert型积分不等式 72

3.2.3一些特例 74

3.2.4一些含参变量与共轭指数的Hilbert型积分不等式 80

3.3Hilbert型积分算子有界的若干充分条件及应用 83

3.3.1单变量的核在（0，1）上有界的情形 84

"3.3.2单变量的核在［δ,1）（0<δ<1）上局部有界的情形 87

3.3.3单变量的核在（0，1-δ］（0<δ<1）上局部有界的情形 92

3.3.4单变量的核在［δ，1-δ］（0<δ<???）上局部有界的情形 94

3.4关于一个含有4对共轭指数的Hilbert型积分不等式 97

3.4.1Hilbert型积分算子范数为正数的一个必要条件 97

3.4.2关于一个含4对共轭指数与一个独立参数的Hilbert型积分不等式 98

参考文献 99

第4章 限制在子区间的Hilbert型积分不等式及逆式 101

4.1限制在积分子区间的一般结果及若干引理 101

4.1.1两个等价不等式 101

4.1.2两个引理 105

4.2限制在区间（a，∞）（a>0）上的Hilbert型积分不等式 105

4.2.1若干结果 105

4.2.2若干特例 110

43限制在区间（0，b）（b>0）上的Hilbert型积分不等式 114

4.3.1若干结果 114

4.3.2若干特例 119

4.4限制在区间（a，b）（0<a<b<∞）上的Hilbert型积分不等式 123

4.4.1若干定理及推论 123

4.4.2若干特例 127

4.5限制在子区间上逆向的Hilbert型积分不等式 130

4.5.1三个等价不等式 130

4.5.2限制在区间（a，∞）（a>0）上的逆向Hilbert型积分不等式 133

4.5.3限制在区间（0，b）（0<b<∞）上的逆向Hilbert型积分不等式 138

4.5.4限制在区间（a，b）（0<a<b<∞）上的逆向Hilbert型积分不等式 143

参考文献 146

第5章 核为-1齐次的Hilbert型不等式 148

5.1一些基本结果 148

5.1.1若干定理与推论 148

5.1.2若干特例 153

5.1.3引入参变量的推广结果 154

5.1.4一些引理 156

5.2核为-1齐次的Hilbert型不等式的加强 157

5.2.1Hardy-Hilbert不等式的一个加强 157

5.2.2Hardy-Hilbert不等式的另一个加强 162

5.2.3较为精确的Hardy-Hilbert不等式的一个加强 165

5.2.4较为精确的Hardy-Hilbert不等式的另一个加强 169

5.2.5一个H-L-P不等式的加强 171

5.2.6另一个H-L-P不等式的加强 174

5.3核为-1齐次的逆向的Hilbert型不等式 178

5.3.1一个逆向的Hardy-Hilbert不等式 178

5.3.2一个逆向的较为精确的Hardy-Hilbert不等式 179

5.3.3一个逆向的H-L-P不等式 181

5.3.4另一个逆向的H-L-P不等式 182

5.4核为-1齐次的Hilbert型不等式的精确化 184

5.4.1一个较为精确的Hilbert型不等式 184

5.4.2另一个较为精确的Hilbert型不等式 187

5.4.3一个较为精确的Mulhlland不等式 191

参考文献 195

第6章 算子范数与核为-λ齐次的Hilbert型不等式 197

6.1仅含独立参数的Hilbert型不等式 197

6.1.1算子范数与Hilbert型不等式 197

6.1.2满足定理6.1.3条件的若干特例 202

6.1.3满足定理6.1.2条件的若干特例 204

6.1.4若干基本的Hilbert型不等式的改进 209

6.2含两对共轭指数与独立参数的Hilbert型不等式 212

6.2.1算子范数与参量化Hilbert型不等式 212

6.2.2满足定理6.2.3条件的若干特例 218

6.2.3满足定理6.2.2条件的若干特例 223

6.3逆向的Hilbert型不等式 228

6.3.1主要结果 228

6.3.2满足推论6.3.2条件的若干特例 233

6.3.3满足定理6.3.1条件的若干特例 234

6.4含参变量的Hilbert型不等式及逆式 236

6.4.1主要结果 236

6.4.2应用定理6.4.1和定理6.4.2的若干特例 240

参考文献 253

第7章 一些创新的Hilbert型不等式 256

7.1核为-1齐次的Hilbert型不等式及推广 256

7.1.1若干推论 256

7.1.2一个Hilbert不等式与H-L-P不等式的连接 257

7.1.3若干参量化的例子 263

7.2核为-2与-3齐次的Hilbert型不等式及推广 269

7.2.1一个-2齐次核的Hilbert型不等式及推广 270

7.2.2一个-3齐次核的Hilbert型不等式及推广 271

7.3若干-4齐次核的Hilbert型不等式 273

7.3.1核为？的积分不等式及推广 273

7.3.2核为？的积分不等式及推广 280

7.3.3核为？的积分不等式及推广 283

7.4两个参量化的Hilbert型积分不等式 285

7.4.1一个-λ齐次核的Hilbert型积分不等式及逆式 285

7.4.2一个非齐次核的Hilbert型积分不等式及逆式 293

第8章 非齐次核的Hilbert型算子与其不等式 300

8.1含非齐次核的Hilbert型积分算子与其不等式 300

8.1.1一些基本结果 300

8.1.2逆向的Hilbert型积分不等式 304

8.1.3应用定理8.1.2，定理8.1.3及定理8.1.4的一些特例 306

8.1.4核为非齐次的含参变量的Hilbert型积分不等式 312

8.2含非齐次核离散的Hilbert型算子与不等式 315

8.2.1基本结果 315

8.2.2满足推论8.2.1条件的若干特例 318

8.2.3含参变量非齐次核的Hilbert型不等式 328

8.2.4应用推论8.2.2的若干例子 331

参考文献 334

第9章 两类多重的Hilbert型不等式 335

9.1一类多重的Hilbert型积分不等式 335

9.1.1一些引理 335

9.1.2一个多重的Hilbert型积分不等式及其逆向形式 339

9.1.3多重积分不等式及其逆向形式的若干特例 343

9.2一类多重离散的Hilbert型不等式 348

9.2.1主要结果 348

9.2.2满足定理9.2.1和定理9.2.2的若干特例 354

9.3另一类多重的Hilbert型积分不等式 359

9.3.1一些引理 359

9.3.2基本结果 363

9.3.3若干特例 368

参考文献 371