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1　行列式 1

1.1　行列式的概念与性质 1

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2 n阶行列式的定义及展开 2

1.1.3 行列式的性质 6

1.2　行列式的计算 11

1.3　克莱姆法则 14

习题1 18

2　矩阵 20

2.1　矩阵的概念 20

2.2　矩阵的运算 22

2.2.1 矩阵的加（减）法 22

2.2.2 数量乘法 23

2.2.3 矩阵乘法 24

2.2.4　矩阵的转置 29

2.2.5 方阵的行列式 31

2.2.6　分块矩阵及其运算 32

2.3　可逆矩阵 35

2.4　矩阵的初等变换 41

2.5　矩阵的秩 52

2.6　应用 56

2.6.1　编制通讯密码 56

2.6.2　投入产出分析 59

习题2 62

3　n维向量空间与线性方程组 67

3.1 n维向量空间 67

3.2　向量组的线性相关性 69

3.2.1 线性相关性概念 69

3.2.2 线性相关性的判定 69

3.3　向量组的秩 72

3.3.1 极大线性无关向量组 72

3.3.2 向量组的秩 72

3.3.3 矩阵与向量组秩的关系 73

3.4　线性方程组的解 74

3.4.1 消元法解线性方程组 74

3.4.2 线性方程组解的结构 77

3.5　应用 79

习题3 82

4　矩阵的相似 84

4.1 向量组的正交规范化 84

4.1.1 向量内积及其性质 84

4.1.2　正交向量组及其性质 85

4.1.3　规范正交基及其求法 86

4.1.4　正交矩阵与正交变换 87

4.2　方阵的特征值与特征向量 89

4.2.1　特征值与特征向量 89

4.2.2　特征值与特征向量的基本性质 92

4.3　相似矩阵 93

4.3.1 相似矩阵的概念 94

4.3.2　相似矩阵的性质 94

4.3.3 矩阵与对角矩阵相似的条件 97

4.4　实对称矩阵的对角化 98

4.4.1 实对称矩阵的性质 99

4.4.2 实对称矩阵的对角化 100

4.5　矩阵的约当标准形 104

4.6　应用 107

4.6.1 n阶方阵A的对角化或较低阶方阵A的约当标准形化，在求A的高次幂上的应用 107

4.6.2　简化微分方程组求解 109

习题4 110

5　二次型 113

5.1　二次型及其标准形 113

5.1.1 二次型的定义 113

5.1.2 线性变换 114

5.2　化二次型为标准形 116

5.2.1 正交变换法 116

5.2.2　初等变换法 118

5.2.3 配方法 119

5.3　实二次型的分类 120

5.4　应用 123

习题5 126

6　线性空间与线性变换 128

6.1　线性空间的定义与性质 128

6.2　线性空间的基、维数和向量的坐标 130

6.3　线性变换的定义与性质 135

6.4　线性变换的矩阵表示 137

6.5　线性变换的运算 141

6.6　欧氏空间 142

习题6 147

附录A　数学实验指导 151

实验1　行列式与矩阵 151

实验2　求矩阵的秩与向量组的极大无关组 155

实验3　求解线性方程组 159

实验4　求矩阵的特征值与特征向量 162

参考答案 166

参考文献 172