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前言 1

第一章 预备知识 1

1.1 Sobolev空间简介 1

1.2 嵌入定理、迹定理 3

1.3 有限元空间及其性质 5

1.3.1 有限元空间 5

1.3.2 插值逼近性质 7

1.3.3 有限元逆性质 8

1.4 椭圆边值问题的有限元逼近 9

1.4.1 椭圆边值问题的适定性 9

1.4.2 有限元逼近 11

第二章 有限元Ritz-Volterra投影 14

2.1 符号和不等式 14

2.2 存在惟一性及L2和H1模逼近性质 16

2.3 负模误差估计 19

2.4 时间依赖型Green函数及其估计 21

2.4.1 Green函数的定义 21

2.4.2 Green函数的估计 25

2.5 W1,p模稳定性和Lp（2≤p≤∞）模逼近性质 38

2.6 广义Ritz-Volterra投影逼近 42

第三章 抛物型积分-微分方程的有限元方法 46

3.1 解的正则性理论 46

3.2 半离散有限元逼近 54

3.3 全离散有限元格式 58

3.3.1 向后欧拉格式 60

3.3.2 Crank-Nicolson格式 63

3.4 全离散有限元格式的修正 67

3.5 有限元解的长时间稳定性与误差估计 71

第四章 某些发展型方程的有限元方法 77

4.1 双曲型积分-微分方程 77

4.2 Sobolev方程 80

4.3 粘弹性方程 82

4.4 Stokes型积分-微分方程 85

4.4.1 问题及其有限元近似 85

4.4.2 一个有限元投影逼近 87

4.4.3 误差估计 88

第五章 非线性问题的有限元逼近 92

5.1 一个非线性投影逼近 92

5.2 非线性抛物型积分-微分方程 98

5.3 非线性双曲型积分-微分方程 99

5.4 非线性Sobolev方程 102

第六章 有限元超收敛性：一维问题 106

6.1 有限元Ritz-Volterra投影的节点超收敛性 107

6.2 抛物型积分-微分方程有限元逼近的节点超收敛性 111

6.3 一维投影型插值及其超收敛性质 117

6.3.1 一维投影型插值 117

6.3.2 超收敛基本估计 119

6.4 有限元逼近的函数和导数的超收敛点 120

6.4.1 有限元Ritz-Volterra投影 120

6.4.2 抛物型积分-微分方程 122

6.5 导数小片插值恢复技术 124

6.6 一个高精度的导数恢复公式 127

6.6.1 导数恢复公式及其超收敛性质 127

6.6.2 数值积分修正形式 131

6.6.3 数值计算例 132

第七章 有限元超收敛性：二维问题 136

7.1 有限元Ritz-Volterra投影的超收敛性质 136

7.2 抛物型积分-微分方程有限元逼近的超收敛性质 139

7.3 二维投影型插值及其超收敛性质 142

7.3.1 二维投影型插值 142

7.3.2 超收敛基本估计 144

7.3.3 对有限元逼近的应用 150

7.4 线性有限元的导数恢复技术 152

7.4.1 线性三角元 152

7.4.2 双线性矩形元 154

7.4.3 双线性四边形元 156

7.5 双k次矩形元的导数小片插值恢复技术 158

7.5.1 导数恢复公式及其超收敛性质 158

7.5.2 奇数阶矩形元的导数恢复公式 163

7.5.3 对有限元逼近的应用 167

第八章 有限体积元方法 171

8.1 基于有限体积元的Ritz-Volterra投影 171

8.2 最优阶误差估计 176

8.3 抛物型积分-微分方程的有限体积元方法 182

8.4 最低的正则性条件：两个反例 185

第九章 一阶双曲问题的间断有限元方法 191

9.1 一阶双曲方程的间断有限元格式 191

9.2 最优阶误差估计 195

9.3 线性元的超收敛估计 199

9.4 后验误差分析 203

9.5 一阶正对称双曲方程组 209

9.5.1 问题及其间断有限元格式 209

9.5.2 误差分析 211

9.5.3 后验误差估计 212

9.6 非定常问题 215

9.6.1 半离散间断有限元近似 215

9.6.2 全离散间断有限元近似 217

9.7 一阶正对称双曲组例 219

参考文献 224