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第一章　初涉极限 1

1.1　从庄子切棒和阿基里斯追龟谈起 1

1.2　数列与级数 4

1.3 0与∞ 7

1.4　代数极限和几何极限 10

1.5　无穷小列和极限定义 12

1.6　从北京奥运会探讨体育成绩的极限 14

第二章　计算极限 18

2.1　有限项级数 18

2.1.1　高斯和等差级数 18

2.1.2　杨辉三角和高阶等差级数 21

2.1.3　等幂自然数级数 23

2.1.4　等比级数 25

2.1.5　等差数列和等比数列 28

2.2　无穷级数 29

2.2.1　无穷项级数的收敛性 29

2.2.2　无穷项级数的发散性 30

2.3　关于0/0与∞/∞ 31

2.4　小变量｜x｜＜1的函数级数 34

2.4.1　牛顿二项式定理 34

2.4.2 小变量｜x｜＜1三角函数sinx,cosx所展开的级数 36

2.5　面积和体积 39

2.5.1　阿基米德的穷竭法 39

2.5.2　开普勒与酒桶体积 46

第三章　研究极限 54

3.1　牛顿发现变化率和面积联系 54

3.1.1　运动极限 55

3.1.2　面积和变化率 58

3.2 圆周率π 59

3.2.1　an的递推公式 64

3.2.2　刘徽的伟大贡献 64

3.2.3　祖冲之再创辉煌 66

3.2.4　祖冲之创新的另一条可能思路 77

3.2.5　千思万虑猜《缀术》 82

3.3 e 84

3.3.1 ex是变化率等于自身的函数 84

3.3.2 e与经济增长率 86

3.3.3 e是时间的见证 88

3.3.4 e是最大连乘积的“基本单元” 90

3.3.5 小变量（｜x｜＜1）的ex和ln（1+x）幂级数公式 93

3.3.6　欧拉常数γ 95

3.4　变化率与极值 99

3.4.1　二次三项式f(x)=ax2+bx+c的极值 100

3.4.2　极值实例 101

3.4.3　溜冰场灯光问题 105

3.4.4　光反射问题 107

3.4.5　自然界中的极值原理 109

第四章　超越极限 112

4.1　计算机和极限 112

4.1.1　计算机就是一个“阿基里斯” 112

4.1.2　阿基里斯追羚羊 115

4.1.3　计算机和极限 116

4.2　生物与极限 118

4.2.1　生物群爆炸和灭绝 118

4.2.2 Logistic方程 119

4.3　超越极限 129

参考文献 133

附录A　开普勒与球堆积猜想 134

附录B　牛顿与一般二项式定理 140

附录C　高斯与最小二乘法 146