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第1章 复数与复变函数 1

1.1复数及其运算 1

1.1.1复数及其代数运算 1

1.1.2复数的几何表示 3

1.1.3复数的乘幂与方根 5

1.2区域 8

1.3复变函数 9

1.3.1复变函数的定义 9

1.3.2三个特殊的映射 10

1.3.3复变函数的极限与连续性 11

1.4解析函数 13

1.4.1导数与微分 13

1.4.2Cauchy-Riemann条件 15

1.5初等函数 19

1.5.1指数函数 19

1.5.2对数函数 21

1.5.3幂函数 22

1.5.4三角函数 23

1.5.5反三角函数 25

习题1 25

第2章 复变函数的积分理论 28

2.1复变函数的积分 28

2.1.1积分的定义 28

2.1.2积分存在的充分条件及计算方法 29

2.1.3积分的性质 31

2.2Cauchy定理 33

2.2.1Cauchy定理 33

2.2.2Cauchy定理的推广 38

2.2.3原函数与不定积分 39

2.3Cauchy积分公式 41

2.3.1Cauchy积分公式 41

2.3.2高阶导数公式 43

2.3.3解析函数的一些性质 45

习题2 48

第3章 复变函数的级数理论 51

3.1幂级数 51

3.1.1复数项级数 51

3.1.2复变函数项级数 54

3.1.3幂级数 57

3.2Taylor级数 61

3.2.1解析函数的Taylor展式 61

3.2.2零点 66

3.2.3解析函数的唯一性 67

3.3Laurent级数 69

3.3.1解析函数的Laurent展式 69

3.3.2孤立奇点 73

3.3.3解析函数在无穷远点的性质 77

3.3.4整函数与亚纯函数 79

习题3 80

第4章 留数 83

4.1留数定理 83

4.1.1留数的定义 83

4.1.2留数定理 84

4.1.3留数的计算方法 84

4.1.4无穷远点的留数 87

4.2留数在积分计算中的应用 88

4.2.1形如∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ的积分 88

4.2.2形如∫+∞-∞R（x）dx的积分 90

4.2.3形如∫+∞-∞R（x）eiaxdx（a＞0）的积分 92

4.3辐角原理与Rouché定理 95

4.3.1辐角原理 96

4.3.2Rouché定理 98

习题4 99

第5章 复变函数的几何理论 101

5.1共形映射 101

5.1.1单叶解析函数的性质 101

5.1.2解析函数的导数及其几何意义 104

5.1.3共形映射的概念 106

5.2分式线性映射 107

5.2.1分式线性映射的定义 107

5.2.2保角性 109

5.2.3保圆性 110

5.2.4保交比性 112

5.2.5保对称性 113

5.2.6两个特殊的分式线性映射 114

5.3Riemann定理 116

5.3.1最大模原理 116

5.3.2Schwarz引理 117

5.3.3Riemann定理与边界对应定理 118

5.4调和函数 120

5.4.1调和函数 120

5.4.2调和函数的性质 123

习题5 125

参考文献 127