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第1章 函数、极限与连续 1

1 函数 1

1.1 函数的定义 1

1.2 几种特殊的函数 5

1.3 复合函数与反函数 8

1.4 基本初等函数及其图形 10

1.5 初等函数 17

习题 19

2 函数的极限 21

2.1 数列的极限 21

2.2 函数的极限 28

2.3 函数的左、右极限 30

2.4 无穷小量及其基本性质 31

2.5 无穷大量，无穷小量与无穷大量的关系 33

2.6 无穷小量与极限的关系 34

2.7 极限的四则运算 34

2.8 无穷小的比较 41

2.9 极限存在的判别准则及两个重要极限 42

习题 46

3 函数的连续性 50

3.1 函数的连续性定义 50

3.2 间断点及其分类 53

3.3 基本初等函数的连续性 54

3.4 初等函数的连续性 56

3.5 闭区间上连续函数的基本性质 57

习题 59

第二章 一元函数微分学 62

1 导数 62

1.1 问题的提出 62

1.2 导数的定义 64

1.3 一些基本初等函数的导数 67

1.4 求导法则 70

1.5 隐函数的导数 80

1.6 高阶导数 82

1.7 参数方程所确定的函数的导数 85

习题 87

2 微分 91

2.1 微分的定义 91

2.2 微分的运算 95

2.3 微分的应用 98

习题 100

3 微分中值定理与导数的应用 102

3.1 拉格朗日中值定理 102

3.2 洛必达法则 104

3.3 函数的单调性判别法 109

3.4 函数的极值 112

3.5 函数的最大值与最小值 115

3.6 曲线的凹向及拐点 118

3.7 函数作图 121

习题 124

第3章 一元函数积分学 129

1 不定积分 129

1.1 不定积分的定义及性质 129

1.2 不定积分的基本性质 132

1.3 不定积分的基本公式 133

习题 136

2 积分法 137

2.1 换元积分法 137

2.2 分部积分法 149

2.3 有理分式的不定积分 153

2.4 三角函数有理式积分举例 160

2.5 简单的无理函数积分举例 163

2.6 积分表的使用 164

习题 166

3 定积分的定义、性质及计算 169

3.1 问题的提出 169

3.2 定积分的定义 173

3.3 定积分的简单性质，中值定理 175

3.4 牛顿-莱布尼兹公式 179

3.5 定积分的换元法与分部积分法 182

3.6 定积分的近似计算 187

习题 192

4 定积分的应用 195

4.1 平面图形的面积 195

4.2 曲线的弧长 201

4.3 立体的体积 205

4.4 物体的质量 209

4.5 函数的平均值 210

习题 211

5 广义积分 213

5.1 无穷积分 213

5.2 瑕积分 215

5.3 Γ函数 218

习题 219

第4章 无穷级数 221

1 数项级数 221

1.1 数项级数的收敛及其性质 221

1.2 级数收敛的必要条件 225

1.3 正项级数及收敛判别法 227

1.4 交错级数及其收敛判别法 233

1.5 绝对收敛与条件收敛 235

习题 237

2 幂级数 240

2.1 函数项级数的一般概念 240

2.2 幂级数及其收敛性 241

2.3 幂级数的性质 244

习题 247

3 函数的幂级数展开式及应用 247

3.1 函数的幂级数展开式 247

3.2 初等函数的幂级数展开式 251

3.3 幂级数的应用 255

习题 258

第5章 向量代数与空间解析几何 259

1 空间直角坐标系 259

1.1 空间点的直角坐标 259

1.2 空间两点间的距离 262

习题 263

2 向量 264

2.1 向量的概念 264

2.2 向量的加减法与数乘向量 265

2.3 向量的坐标表示 268

2.4 向量的模与方向余弦 271

2.5 向量的数量乘积 273

2.6 向量的向量乘积 276

习题 279

3 平面与空间直线 280

3.1 平面方程 280

3.2 两平面间的位置关系 285

3.3 空间直线方程 286

3.4 空间两直线的位置关系 289

3.5 直线与平面的位置关系 291

习题 293

4 简单曲面与空间曲线 295

4.1 几种特殊类型的二次曲面 295

4.2 空间曲线 303

5 柱面坐标系与球面坐标系 306

5.1 柱面坐标系 306

5.2 球面坐标系 307

习题 308

第6章 多元函数微分学 310

1 多元函数的一般概念 310

1.1 多元函数的定义 310

1.2 二元函数的定义域及几何表示 311

1.3 二元函数的极限与连续性 315

1.4 闭域上连续函数的性质 319

习题 319

2 偏导数与全微分 321

2.1 偏导数的定义 321

2.2 二元函数偏导数的几何意义 325

2.3 高阶偏导数 326

2.4 函数的全微分定义 328

2.5 全微分在近似计算中的应用 333

习题 338

3 复合函数的偏导数 339

3.1 复合函数的偏导数 339

3.2 全导数 346

3.3 隐函数的偏导数 347

习题 349

4 多元函数微分法的应用 351

4.1 曲面的切平面和法线 351

4.2 二元函数的极值 356

4.3 条件极值与拉格朗日乘数法 362

习题 366

第7章 多元函数积分学 368

1 二重积分 368

1.1 二重积分的概念 368

1.2 二重积分的性质 373

1.3 二重积分的计算 375

习题 385

2 三重积分 388

2.1 三重积分的概念 388

2.2 三重积分的计算 391

习题 397

3 重积分的应用 399

3.1 曲面面积 399

3.2 重心 401

习题 404

4 曲线积分 405

4.1 第一型曲线积分 405

4.2 第二型曲线积分 412

4.3 格林公式 418

4.4 平面曲线积分与路径无关的条件 422

习题 429

第8章 常微分方程 433

1 微分方程的一般概念 433

1.1 常微分方程的一般概念 433

1.2 偏微分方程简介 436

习题 438

2 一阶常微分方程 439

2.1 可分离变量型微分方程 439

2.2 齐次型微分方程 441

2.3 一阶线性微分方程 442

2.4 全微分方程 446

习题 449

3 二阶常微分方程 450

3.1 几种特殊类型的二阶常微分方程 450

3.2 二阶常系数线性齐次微分方程 455

3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 460

3.4 微分方程的幂级数解法（贝塞尔函数） 464

习题 469

4 微分方程的应用 471

4.1 微分方程在化学中的应用举例 471

4.2 微分方程在物理中的应用举例 474

习题 479

附录 简明积分表 481