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第一章 度量空间 1

§1 压缩映像原理 1

基本内容 1

距离空间的定义 1

距离空间的刻画 1

典型例题精解 2

§2 完备化 11

基本内容 11

典型例题精解 12

§3 列紧集 19

基本内容 19

典型例题精解 20

§4 线性赋范空间 25

基本内容 25

线性空间与线性赋范空间 25

几个重要的Banach空间 27

应用（最佳逼近问题） 30

有穷维B*空间的刻画 30

商空间 30

典型例题精解 31

§5 凸集与不动点 45

基本内容 45

定义与基本性质 45

Brower与Schauder不动点定理 48

典型例题精解 48

§6 内积空间 56

基本内容 56

典型例题精解 61

第二章 线性算子与线性泛函 67

§1 线性算子和线性泛函的定义 67

基本内容 67

线性算子和线性泛函的定义 67

线性算子的连续性和有界性 67

典型例题精解 68

§2 Riesz定理及其应用 84

基本内容 84

典型例题精解 84

§3 纲与开映像定理 88

基本内容 88

纲与纲推理 88

开映像定理 88

闭图像定理 89

共鸣定理 90

应用 90

典型例题精解 91

§4 Hahn-Banach定理 115

基本内容 115

Hahn-Banach定理 115

几何形式—凸集分离定理 117

应用 119

典型例题精解 119

§5 共轭空间·弱收敛·自反空间 131

基本内容 131

共轭空间与自然映射 131

弱列紧性与弱*列紧性 133

典型例题精解 134

§6 线性算子的谱 156

基本内容 156

谱的定义与性质 156

Gelfand定理 157

典型例题精解 158

第三章 广义函数与Sobolev空间 166

§1 广义函数的概念 166

基本内容 166

软化子（磨光函数） 167

基本函数空间?（Ω） 168

广义函数的定义和基本性质 168

广义函数的收敛性 169

典型例题精解 169

§2 B0空间 175

基本内容 175

典型例题精解 177

§3 广义函数的运算 179

基本内容 179

广义微商 180

广义函数的乘法 180

平移算子与反射算子 181

几个公式 181

典型例题精解 182

§4 ?′上的Fourier变换 184

基本内容 184

Fourier变换的定义 184

Fourier变换的性质 185

几个公式 185

典型例题精解 186

§5 Sobolev空间与嵌入定理 190

基本内容 190

典型例题精解 192

第四章 紧算子与Fredholm算子 202

§1 紧算子定义和基本性质 202

基本内容 202

典型例题精解 203

§2 Riesz-Fredholm理论 211

基本内容 211

记号 211

重要结论 212

典型例题精解 212

§3 紧算子的谱理论（Riesz-Schauder理论） 222

基本内容 222

紧算子的谱 222

不变子空间 222

紧算子的结构 223

典型例题精解 223

§4 Hilbert-Schmidt定理 233

基本内容 233

典型例题精解 235

§5 对椭圆型方程的应用 241

基本内容 241

对于边值问题的应用 241

对于特征值问题的应用 241

典型例题精解 241

§6 Fredholm算子 247

基本内容 247

典型例题精解 248

符号表 254