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第一章 基本概念与基本定理 1

1.1 稳定性的基本定义 1

1.1.1 受扰运动微分方程 1

目录 1

1.1.2 稳定性的定义 4

1.1.3 Ляпунов函数和K类函数 5

1.2 ЛЛяпунов直接法的基本定理及其推广 8

1.2.1 Ляпувов直接法的基本定理 8

1.2.2 渐近稳定与不稳定定理的推广 12

1.3 Ляпунов一次近似理论 16

1.3.1 定常线性系统的Ляпунов函数 16

1.3.2 Ляпунов一次近似理论 20

1.3.3 Routh-Hurwitz判据 24

1.4.1 基本概念 27

1.4 关于系统的部分变量稳定性 27

1.4.2 关于部分变量稳定性的基本定理 28

习题 30

参考文献 32

第二章 完整约束力学系统的平衡稳定性 33

2.1 完整保守系统的平衡稳定性 33

2.1.1 完整保守系统的运动方程和平衡位置 33

2.1.2 Lagrange定理 35

2.1.3 平衡不稳定定理 40

2.1.4 Painlevé和Wintner反例 45

2.1.5 陀螺力的影响 45

2.1.6 耗散力的影响 46

2.2.1 定常完整约束系统的平衡稳定性 48

2.2 完整非保守系统的平衡稳定性 48

2.2.2 非定常完整约束系统的平衡稳定性 51

2.2.3 相对平衡的稳定性 54

习题 64

参考文献 67

第三章 完整约束力学系统的运动稳定性 68

3.1 Routh定理 68

3.1.1 Routh方程 68

3.1.2 稳态运动 70

3.1.3 Routh定理 71

3.1.4 Routh定理的逆定理 74

3.1.5 耗散力的影响 78

3.2 完整保守系统的运动稳定性 79

3.2.1 Lagrange方程的受扰运动微分方程 80

3.2.2 受扰运动方程为定常的情形 83

3.2.3 受扰运动方程为非定常的情形 87

3.3 一般完整系统的运动稳定性 89

3.3.1 一般完整系统的受扰运动微分方程 89

3.3.2 一般完整系统的运动稳定性 93

习题 95

参考文献 97

第四章 非完整约束力学系统的平衡稳定性 98

4.1 关于非完整系统的平衡稳定性 98

4.1.1 线性齐次定常非完整系统的运动方程和平衡方程 98

4.1.2 线性齐次定常非完整系统平衡状态流形的稳定性 104

4.1.3 线性齐次定常非完整系统平衡位置的Ляпунов稳定性 115

4.1.4 几点注记 119

4.2.1 平衡状态流形的稳定性理论 120

4.2 非完整系统平衡状态流形的稳定性 120

4.2.2 相应完整系统在约束流形上的稳定性 124

4.2.3 非完整系统平衡状态流形的稳定性定理 127

4.2.4 广义Чаплыгин系统平衡状态流形的稳定性 133

4.3 非完整系统平衡位置关于部分变量的稳定性 137

4.3.1 力学系统平衡位置关于部分变量的稳定性理论 137

4.3.2 非完整系统平衡位置关于部分变量的稳定性定理 139

4.3.3 非完整系统平衡位置关于部分与全部变量的稳定性的关系 147

4.4 非完整系统相对平衡状态流形的稳定性 150

4.4.1 非完整系统相对运动动力学方程和相对平衡方程 151

4.4.2 非完整系统相对平衡状态流形的稳定性判据 154

4.4.3 线性齐次定常非完整约束的情形 158

习题 164

参考文献 168

5.1.1 线性齐次定常非完整系统的循环坐标、循环积分和稳态运动 170

第五章 非完整约束力学系统的运动稳定性 170

5.1 线性齐次定常非完整系统稳态运动的稳定性 170

5.1.2 线性齐次定常非完整系统稳态运动的稳定性 174

5.1.3 线性齐次定常非完整系统稳态运动的稳定性问题归结为完整系统的平衡稳定性问题 177

5.2 非线性定常非完整系统稳态运动的稳定性 191

5.2.1 非线性定常非完整系统的稳态运动 191

5.2.2 非线性定常非完整系统稳态运动的稳定性判据 194

5.2.3 一类特殊非完整系统的稳态运动 201

5.3 非完整有势系统的运动稳定性 204

5.3.1 非完整有势系统的受扰运动微分方程 204

5.3.2 Чаплыгин非完整系统的运动稳定性 212

5.3.3 广义Чаплыгин非完整系统的运动稳定性 215

5.3.4 算例 216

5.4.1 一般非完整系统的受扰运动微分方程 218

5.4 一般非完整系统的运动稳定性 218

5.4.2 一般非完整系统运动稳定性判据 221

5.5 弱非完整系统的稳定性 227

5.5.1 弱非完整系统的运动方程及其显式 227

5.5.2 弱非完整系统的一次近似方程 230

5.5.3 弱非完整系统的运动稳定性 232

习题 235

参考文献 236

第六章 Birkhoff系统的运动稳定性 238

6.1 自由Birkhoff系统的平衡稳定性 238

6.1.1 自由Birkhoff系统的运动方程和平衡方程 239

6.1.2 自由Birkhoff系统的受扰运动方程和一次近似方程 242

6.1.3 自由Birkhoff系统平衡稳定性的一次近似方法 244

6.1.4 自由Birkhoff系统平衡稳定性的直接方法 249

6.1.5 自由Birkhoff系统平衡状态流形的稳定性 251

6.2 自由Birkhoff系统的运动稳定性 253

6.2.1 自由Birkhoff系统的受扰运动方程 254

6.2.2 自由Birkhoff系统的运动稳定性 254

6.3 约束Birkhoff系统的平衡稳定性 258

6.3.1 约束Birkhoff系统的运动方程 259

6.3.2 约束Birkhoff系统的平衡稳定性 265

6.3.3 约束Birkhoff系统平衡状态流形的稳定性 277

6.4 约束Birkhoff系统的运动稳定性 281

6.4.1 约束Birkhoff系统的受扰运动方程 281

6.4.2 约束Birkhoff系统运动稳定性的一次近似方法 283

6.4.3 约束Birkhoff系统运动稳定性的直接方法 289

习题 290

参考文献 292