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第一章 整数 1

1.1 交换环·整环 1

1.2 交换环的基本性质 3

1.3 有序整环的性质 9

1.4 良序原则 12

1.5 数学归纳法·指数定律 14

1.6 可除性 18

1.7 欧几里得算法 19

1.8 算术基本定理 25

1.9 同余式 27

1.10 环Zn 32

1.11 集合·函数·关系 35

1.12 同构与自同构 39

第二章 有理数和域 42

2.1 域的定义 42

2.2 有理数域的构造 47

2.3 联立线性方程 53

2.4 有序域 58

2.5 正整数公设 61

2.6 皮亚诺公设 65

3.1 多项式形式 69

第三章 多项式 69

3.2 多项式函数 73

3.3 交换环的同态 78

3.4 多元多项式 81

3.5 辗转相除法 84

3.6 单位与相伴 86

3.7 不可约多项式 90

3.8 唯一因子分解定理 92

3.9 其他唯一因子分解整环 97

3.10 爱森斯坦不可约判别准则 102

3.11 部分分式 104

4.1 毕达哥拉斯二难推论 110

第四章 实数 110

4.2 上界与下界 112

4.3 实数公设 115

4.4 多项式方程的根 118

4.5 戴德金分割 122

第五章 复数 127

5.1 复数的定义 127

5.2 复平面 130

5.3 代数基本定理 134

5.4 共轭数与实多项式 138

5.5 二次方程与三次方程 140

5.6 四次方程的根式解法 143

5.7 稳定型方程 145

第六章 群 147

6.1 正方形的对称 147

6.2 变换群 149

6.3 其他例子 155

6.4 抽象群 157

6.5 同构 162

6.6 循环群 165

6.7 子群 169

6.8 拉格朗日定理 173

6.9 置换群 176

6.10 偶置换与奇置换 181

6.11 同态 183

6.12 自同构·共轭元素 186

6.13 商群 190

6.14 等价关系与同余关系 193

第七章 矢量与矢量空间 198

7.1 平面矢量 198

7.2 推广 199

7.3 矢量空间与子空间 202

7.4 线性无关与维数 207

7.5 矩阵与行等价 212

7.6 线性相关的检验 215

7.7 矢量方程·齐次方程 221

7.8 基底与坐标系 226

7.9 内积 233

7.10 欧几里得矢量空间 235

7.11 标准正交基 238

7.12 商空间 242

7.13 线性函数与对偶空间 244

第八章 矩阵代数 251

8.1 线性变换与矩阵 251

8.2 矩阵加法 258

8.3 矩阵乘法 260

8.4 对角矩阵·置换矩阵·三角形矩阵 266

8.5 长方矩阵 269

8.6 逆矩阵 275

8.7 秩与零度 281

8.8 初等矩阵 284

8.9 等价与标准型 290

8.10 双线性函数与张量积 293

8.11 四元数 298

数学符号表 303

索引 305