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1 绪论 1

1.1 基本概念 1

1.1.1 某些一般概念 1

1.1.2 定解问题及其适定性 4

1.1.3 广义解 8

1.2 模型 10

1.2.1 弦的横振动问题 11

1.2.2 热传导问题和分子的扩散问题 15

1.2.3 薄膜的横振动和平衡问题 20

1.2.4 电磁波和稳定的电磁场 21

1.2.5 固体弹性波 24

1.2.6 流体波、声波方程和稳定的流场 26

1.2.7 电报方程及定解条件 28

1.3 二阶线性方程的分类和标准形式，特征的概念 31

1.3.1 两个自变量时的分类和标准形式，特征曲线 31

1.3.2 多个自变量时的分类，特征曲面 40

1.3.3 多个自变量时常系数方程的标准形 43

1.4 叠加原理和齐次化原理 45

1.4.1 叠加原理(独立作用原理) 45

1.4.2 齐次化原理(冲量原理) 48

1.5 Cauchy-KOwalevski定理和H0lmgren定理 52

习题一 55

2 通解法和球面平均法 59

2.1 通解法 59

2.1.1 两个自变量一阶线性方程的通解法 59

2.1.2 一维波动方程的通解法(行波法) 62

2.1.3 n个自变量一阶线性方程的通解法 73

2.1.4 其它某些高阶方程的通解法 76

2.2 球面平均法 78

2.2.1 球面平均法，三维波动方程初值问题解的Poisson公式及后推势 78

2.2.2 降维法，二维波动方程初值问题解的Poisson公式 82

2.2.3 波动方程初值问题解的传播特性，柱面波的弥漫现象 83

2.2.4 n维波动方程初值问题的解 85

2.2.5 推广了的波动方程初值问题的解 87

习题二 89

3 分离变量法和特殊函数 92

3.1 两个自变量时的几个典型问题 92

3.1.1 一维波动方程的混合问题 92

3.1.2 一维热传导方程的混合问题 104

3.1.3 二维调和方程和Poisson方程的边值问题 106

3.1.4 杆和板的横振动和板的平衡 114

3.2 常微分方程的固有值问题 117

3.2.1 Stum-Liouville固有值问题理论 117

3.2.2 分离变量法解两个自变量二阶线性方程定解问题的一般格式 123

3.3 常微分方程的解析理论 127

3.3.1 解析理论的几个定理 127

3.3.2 超几何方程和合流超几何方程 131

3.4 某些二阶常微分方程的解所定义的特殊函数 137

3.4.1 Bessell方程和Bessell函数 137

3.4.2 Legendre方程和Legendre函数 146

3.4.3 伴随Legendre方程和伴随Legendre函数 149

3.4.4 其它一些方程的解和固有值问题，正交多项式 151

3.5 多个自变量时的分离变量法 159

3.5.1 分离变量法概述，偏微分方程的固有值问题 159

3.5.2 柱形域的混合问题或边值问题，柱函数 166

3.5.3 球形域的混合问题或边值问题，球函数，球Bessell函数 173

3.5.4 Helmholtz方程的边值问题，恒稳振动 180

3.5.5 其它的—些问题 183

习题三 192

4 积分变换法，广义函数和方程的基本解 196

4.1 积分变换法 196

4.1.1 基本的积分关系式和共轭微分算子 196

4.1.2 积分变换 198

4.1.3 积分变换解偏微分方程的一般原理 202

4.1.4 用积分变换法求解的一些典型问题 204

4.2.1 广义函数的引入，Diracδ-函数 218

4.2 广义函数 218

4.2.2 广义函数和广义函数的极限 220

4.2.3 广义函数的支集和局部性质 227

4.2.4 广义函数的某些简单运算 229

4.2.5 广义函数的导数和对参变量的导数 232

4.2.6 广义函数的折积 238

4.2.7 广义函数的Fourier变换 239

4.2.8 广义函数的Laplace变换 243

4.3 基本解 246

4.3.1 微分方程的基本解 246

4.3.2 常系数线性方程初值问题的基本解 253

4.3.3 常系数线性方程混合问题的基本解 256

习题四 260

5 共轭算子法和Green函数 265

5.1 常微分方程边值问题及其Green函数 265

5.1.1 常微分方程边值问题和共轭边值问题 265

5.1.2 边值问题的Green函数 267

5.1.3 边值问题有解的相容性条件 269

5.1.4 自共轭边值问题Green函数举例 270

5.1.5 微分方程固有值问题和积分方程固有值问题的等价性 273

5.2 偏微分方程边值问题及其Green函数 274

5.2.1 三维调和方程第一边值问题及其Green函数 274

5.2.2 三维调和方程第三边值问题及其Green函数 282

5.2.3 三维调和方程第二边值问题的相容性条件及其广义的Green函数 283

5.2.4 二维调和方程边值问题及其Green函数 285

5.2.5 Helmholtz方程边值问题及其Green函数 292

5.3 偏微分方程初值问题和混合问题的Gteen函数 297

5.3.1 一维波动方程初值问题及其Green函数 297

5.3.2 一维热传导方程初值问题及其Green函数 301

5.3.3 一维热传导方程混合问题的Green函数 303

5.4 Riemann方法和Riemann函数 306

5.4.1 Riemann函数 306

5.4.2 Riemann方法 314

5.5 Kirchhoff公式及应用 316

5.5.1 Kirchhoff公式 317

5.5.2 三维波动方程初值问题解的Poisson公式 318

习题五 319

6 积分方程法和位势理论及其应用 324

6.1 线性积分方程的基本理论介绍 324

6.1.1 基本概念和基本假设 324

6.1.2 积分方程的某些基本理论介绍 326

6.1.3 逐次逼近法和解核 327

6.1.4 退化核的积分方程 329

6.1.5 对称核的积分方程 332

6.1.6 Velterra第二型积分方程 334

6.1.7 Fredholm第一型积分方程 334

6.2 三维位势理论和调和方程的边值问题 335

6.2.1 位势理论介绍 335

6.1.8 奇异积分方程 335

6.2.2 调和方程的边值问题 339

6.3 二维位势理论和调和方程的边值问题 345

6.3.1 二维位势理论简介 345

6.3.2 调和方程的边值问题 347

6.4 Helmholtz方程对应的位势和边值问题 352

6.4.1 三维Helmholtz方程的位势理论 352

6.4.2 Helmholtz方程的边值问题 353

6.4.3 化更一般形式的非齐次Helmholtz方程的边值问题为积分方程的另一方法 355

6.5 抛物位势和热传导方程的混合问题 356

6.5.1 抛物位势理论介绍 356

6.5.2 利用位势解混合问题 358

6.5.3 推广了的抛物位势和活动边界下热传导方程的混合问题 359

6.5.4 高维抛物位势和高维热传导方程的混合问题 362

习题六 364

参考文献 367

习题参考解答 368