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第一章 场的数学理论 1

§1 数量场与矢量场 1

1．1．1 场的概念 1

1．1．2 场的几何表示 1

§2 场的微分性质 3

1．2．1 梯度及其性质 3

1．2．2 散度及其性质 7

1．2．3 旋度及其性质 9

§3 场的积分性质 13

1．3．1 流量与奥-高公式 13

1．3．2 环量与斯托克斯公式 16

§4 有势场、管形场、调和场 20

1．4．1 有势场及其性质 20

1．4．2 管形场及其性质 22

1．4．3 调和场及其性质 24

§5 梯度、散度、旋度在柱、球坐标系中的表达式 28

1．5．1 在柱坐标系中的表达式 28

1．5．2 在球坐标系中的表达式 29

第二章 复变函数论 34

§1 复数与复变函数 34

2．1．1 复数及其运算 34

2．1．2 复变函数及其极限与连续性 38

§2 复变函数的导数 42

2．2．1 导数与解析函数 42

2．2．2 导数的几何意义 48

§3 复变函数的积分 52

2．3．1 积分及其计算 52

2．3．2 柯西定理与柯西公式 55

§4 解析函数的展式 60

2．4．1 解析函数的泰勒展式 61

2．4．2 解析函数的罗朗展式 65

§5 留数及其应用 74

2．5．1 留数与留数定理 74

2．5．2 用留数计算实积分 78

2．5．3 留数的其他应用 83

§6 保角变换 86

2．6．1 某些常用的保角变换 86

2．6．2 保角变换的一般原理 91

2．6．3 许瓦尔茨-克利斯托弗公式 94

第三章 数学物理方程与积分变换 106

§1 方程的分类与化简 106

3．1．1 典型方程的导出及定解问题的提法 106

3．1．2 二阶线性偏微分方程的分类与标准形 107

§2 双曲型方程 112

3．2．1 行波法 113

3．2．2 分离变量法 124

§3 抛物型方程 132

3．3．1 影响函数法 132

3．3．2 分离变量法 137

§4 椭圆型方程 144

3．4．1 影响函数法 144

3．4．2 分离变量法 148

§5 积分变换 155

3．5．1 富氏变换 156

3．5．2 拉普拉斯变换 161

第四章 特殊函数 176

§1 勒让德多项式 176

4．1．1 勒让德多项式的表示式 176

4．1．2 勒让德多项式的性质 177

4．1．3 伴随勒让德函数 177

4．2．1 球面函数 186

§2 球函数 186

4．2．2 球体函数 187

§3 柱函数 189

4．3．1 第一类贝塞尔函数 189

4．3．2 第二类贝塞尔函数 195

4．3．3 第三类贝塞尔函数 196

4．3．4 变形贝塞尔函数 197

4．3．5 贝塞尔方程的本征值问题 198

第五章 线性代数 211

§1 行列式 211

5．1．1 行列式的概念 211

5．1．2 行列式的性质 211

5．1．3 用行列式解线性方程组 213

§2 线性空间 214

5．2．1 n维矢量空间 214

5．2．2 线性空间 215

5．2．3 实欧氏空间 216

§3 矩阵 221

5．3．1 矩阵的定义和代数运算 221

5．3．2 方阵 224

5．3．3 矩阵的初等变换 226

5．3．4 矩阵的秩和线性方程组 227

§4 线性变换和二次型 232

5．4．1 线性变换的定义和运算 234

5．4．2 Vn上线性变换的矩阵表示 237

5．4．3 线性变换的特征值和特征矢量 238

5．4．4 欧氏空间中的对称变换、正交变换和二次型 241

第六章 概率论与数理统计 255

§1 概率论的基本概念及运算 255

6．1．1 随机事件 255

6．1．2 概率的概念与性质 257

6．1．3 概率的基本运算 258

§2 随机变量及其分布 264

6．2．1 随机变量及其分布函数 265

6．2．2 离散型随机变量及其分布 265

6．2．3 连续型随机变量及其分布 269

6．2．4 二维随机变量及其分布 272

6．2．5 二维随机变量的条件分布 275

6．2．6 随机变量的函数的分布 279

§3 随机变量的数字特征 283

6．3．1 离散型随机变量的数字特征 283

6．3．2 连续型随机变量的数字特征 287

6．3．3 随机变量的函数的数字特征 290

§4 大数定律及中心极限定理 296

6．4．1 大数定律 297

6．4．2 中心极限定理 298

§5 随机样本及统计量 302

6．5．1 样本及其数字特征 302

6．5．2 统计量及其分布 303

§6 未知参数的估计 306

6．6．1 点估计 307

6．6．2 区间估计 312

§7 假设检验 317

6．7．1 参数假设检验 317

6．7．2 非参数假设检验 323

§8 方差分析 328

6．8．1 单因素方差分析 328

6．8．2 双因素方差分析 330

§9 回归分析 333

6．9．1 线性回归分析 333

6．9．2 非线性回归分析 338