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第一章 超实数 1

1.1 实数系 1

1.2 超滤子 4

1.3 超实数系 8

第二章 超结构与超幂 13

2.1 超结构 13

2.2 超结构的超幂模型 18

2.3 非标准全域 27

2.4 形式语言 29

第三章 转换原理 34

3.1 Los定理与转换原理 34

3.2 内集理论 42

3.3 超自然数集、有限集与外集 48

第四章 非标准模型与单子理论 55

4.1 概括模型 56

4.2 扩大模型 58

4.3 多饱和模型 66

4.4 滤单子 73

4.5 内性质的扩张 78

4.6 并单子 83

第五章 微积分的非标准理论 85

5.1 R的性质 85

5.2 序列 88

5.3 关于实数的拓扑 95

5.4 函数的极限与连续 100

5.5 导数与微分 105

5.6 Riemann积分与Riemann-Stieltjes积分 110

第六章 一般拓扑学中的非标准理论 119

6.1 拓扑空间的单子 119

6.2 离散单子 124

6.3 饱和集 132

6.4 近标准点与标准部分映射 135

6.5 紧性 138

6.6 局部紧 144

6.7 弱拓扑与乘积拓扑 147

第七章 泛函分析的非标准方法 150

7.1 度量空间 150

7.2 线性赋范空间与Banach空间 161

7.3 内积空间与Hilbert空间 170

7.4 紧化 183

7.5 函数空间 187

7.6 一致空间与一致单子 191

7.7 右连左极函数空间 216

第八章 非标准的测度论与概率论 224

8.1 测度 225

8.2 内测度空间与*有限概率空间 229

8.3 乘积空间 250

8.4 Loeb空间的测度同构 255

8.5 Hausdorff空间上的Radon测度 263

8.6 弱收敛的非标准特征 285

8.7 测度的极限与扩张 298

8.8 Browian运动与Ito随机积分 305

第九章 非标准随机分析 323

9.1 概率空间和随机过程的弱Loeb表示 323

9.2 Radon空间上的局部鞅到Loeb空间上的转换 338

9.3 右连左极过程的提升 344

9.4 鞅及其提升 352

9.5 与鞅相联系的随机过程 364

9.6 半鞅 377

9.7 随机积分的非标准表示 389

9.8 几点注记 406

参考文献 409

索引 413