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§1．1 预备知识 1

1 拓扑空间 1

第一章 微分流形 1

2 曲线与线性连通 3

3 诱导拓扑 3

4 拓扑基与第二可数性公理 3

6 紧致拓扑空间 4

7 数空间 4

8 度量空间 6

9 度量空间的完备化 8

10 局部有限、仿紧空间 9

习题1．1 10

§1．2 微分流形 10

1 导引 10

2 定义 19

3 例子 21

习题1．2 24

4 切空间及余切空间 24

5 向量场 27

6 切丛及余切丛 29

7 微分映射 30

8 子流形 32

§1．3 流形上的微积分与Stokes定理 35

1 关于多变数的积分 35

2 外代数(又称为Grassmann代数) 38

习题1．3 44

3 de Rham群 45

4 流形上的微积分与Stokes定理 46

习题1．4 66

1 张量代数 67

§1．4 张量算法 67

2 张量场 73

1 李代数 74

§1．5 李代数 74

2 子代数、商李代数、同态映射 75

3 李代数的自同构 76

4 表示 79

5 李代数的结构 79

习题1．5 81

§1．6 单参数变换群与李导数 81

1 单参数变换群 81

5 同胚映射 84

2 李导数 87

习题1．6 92

§1．7 李群 93

1 定义 93

2 李群的实例 96

3 局部李群 99

4 流形上向量场的李代数 100

5 李变换群 103

6 李群的李子群 109

7 双不变形式 110

8 指数映射补遗 113

§1．8 外导数、外微分问题补遗 115

1 定义与基本定理 115

2 外微分的性质 119

3 外微分算子d与向量场的括号积[X，Y]＝XY-YX的关系 121

第二章 仿射联络空间 124

§2．1 仿射联络的定义 125

§2．2 仿射联络的公理化 128

§2．3 自平行曲线 133

§2．4 Cartan结构方程 134

习题 139

第三章 黎曼空间 141

§3．1 黎曼度量及其存在性 142

§3．2 黎曼联络 146

§3．3 联络与展开 148

§3．4 测地线上的共轭点 163

习题3．1 166

习题3．2 167

§3．5 和乐群 168

§3．6 齐性空间与对称空间 172

1 对称黎曼空间 173

2 格拉斯曼流形 175

§3．7 空间型问题 176

§3．8 嵌入问题 177

§3．9 调和积分 177

习题3．3 180

第四章 极小曲面与柏拉图问题 182

§4．1 极小曲面的唯一性问题 182

§4．2 渐近曲线、球面表示 187

§4．3 极小螺旋面与悬链面 188

§4．4 柏拉图问题 190

1 卵形线 191

§5．1 闭曲线 191

第五章 平面曲线的整体性质 191

2 四顶点定理 193

3 等阔曲线 198

4 卵形线上的反极点 200

5 支持函数 201

6 卵形线的最小和最大曲率圆 203

习题5．1 205

§5．2 等周问题 207

1 等周不等式 207

2 Crofton公式 210

3 切线旋转定理 213

习题5．2 221

复习提纲与总习题 222

第六章 空间曲线的整体性质 224

§6．1 球面的Crofton公式 224

§6．2 Fenchel定理 226

§6．3 闭曲线的全挠率 231

§6．4 Fary-Milnor定理 234

§6．5 A．Schur定理 236

习题 241

第七章 曲面的整体性质 242

§7．1 欧氏空间中的曲面 242

§7．2 闭曲面 247

§7．3 欧拉示性数 248

习题7．1 250

§7．4 整体高斯——波恩涅定理 251

习题7．2 252

§7．5 卵形面 253

1 卵形面的刚性 257

2 Minkowski定理 265

习题7．3 267

§7．6 Hopf—Rinow定理与Hadamard定理 268

§8．1 整体黎曼几何导引 271

第八章 等距变换群 271

§8．2 完备性 279

§8．3 等距变换 282

§8．4 变分法初步 285

§8．5 法坐标系 288

§8．6 常曲率空间的特征 292

§8．7 齐次空间 297

§8．8 对称空间 303

习题8．1 310

§8．9 截面曲率 311

§8．10 变分法续论 315

1 Fermi坐标 315

2 测地线的相对最短线 318

习题8．2 324

第九章 运动群 326

§9．1 闭曲线的伴随合同变换 326

§9．2 齐次运动群 330

§9．3 运动群H~0 341