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第一章 复数和平面点集 1

1.1 复数 1

1. 复数的四则运算 1

2. 共轭复数 3

3. 复数的几何表示、模与辐角 5

4. 复数的乘方和开方 11

5. 复数序列的极限、无穷远点 13

1.2 平面点集 16

1. 基本概念 16

2. 区域与曲线 17

第二章 复变数函数 23

2.1 复变数函数 23

2.2 函数极限和连续性 26

2.3 导数和解析函数的概念 29

2.4 柯西-黎曼方程 32

2.5 初等函数 35

1. 幂函数 35

2. 根式函数 38

3. 指数函数 48

4. 对数函数 49

5. 三角函数 51

6. 双曲函数 53

7. 一般幂函数 54

8. 反三角函数 56

第三章 解析函数的积分表示 61

3.1 复变函数的积分 61

3.2 柯西积分定理 65

3.3 原函数 68

3.4 柯西积分公式 72

3.5 解析函数的性质 76

第四章 调和函数 84

4.1 解析函数与调和函数的关系 84

4.2 调和函数的性质和狄利克雷问题 88

第五章 解析函数的级数展开 93

5.1 复级数的基本性质 93

1. 复数项级数 93

2. 复变函数项级数 96

5.2 幂级数 100

5.3 解析函数的泰勤(Taylor)展开 104

5.4 罗朗(Laurent)级数 110

5.5 解析函数的孤立奇点 118

第六章 留数及其应用 130

6.1 留数定理 130

6.2 积分计算 135

1. ？R(cosθ，sinθ)dθ型积分 135

2. 有理函数的积分？R(x)dx 138

3. I1=？R(x)cosrnxdx及I2=？R(x)sinmxdx(m>0)型的积分 143

4. 杂例 146

5. 多值函数的积分 149

6.3 辐角原理 153

第七章 解析开拓 163

7.1 唯一性定理和解析开拓的概念 163

7.2 含复参变量积分及Г函数 168

第八章 保形变换及其应用 177

8.1 导数的几何意义 177

8.2 保形变换的概念 179

8.3 分式线性变换 181

8.4 初等函数的映照 190

8.5 许瓦兹-克利斯托菲变换 199

8.6 平面场 209

第九章 拉氏变换 227

9.1 拉氏变换的定义 227

9.2 拉氏变换的基本性质 231

9.3 由象函数求本函数 244

1. 部分分式法 244

2. 拉氏变换的反演公式 246

3. 其他方法 251

附表1 基本法则表 253

附表2 拉普拉斯变换表 254

习题答案 264