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第一部分 古典变分理论与线性微分方程边值问题 1

第一章 变分问题与 Poisson 方程边值问题 1

1.1 变分问题的例子 1

1.2 定义与记号 3

1.3 Poisson 方程边值问题与变分问题 4

第二章 Banach 空间与 Hilbert 空间 9

2.1 Banach 空间 9

2.2 算子与泛函 16

2.3 Hilbert 空间 21

2.4 Riesz 表示定理 28

2.5 Fredholm 定理 31

2.6 Sobolev 空间 W?2(Ω) 34

第三章 泛函极小问题与线性微分方程 39

3.1 正算子与二次泛函极小问题 39

3.2 自然边界条件 45

3.3 二阶自共轭椭圆方程边值问题 52

3.4 二次泛函变分问题的可解性 55

3.5 二阶自共轭椭圆方程的特征值问题 63

3.6 里斯(Riesz F)方法 71

3.7 迦辽金(Гагеркнн Ъ.Г)方法 84

3.8 二阶线性椭圆方程的 Dirichlet 问题 94

第四章 有限元素法 97

4.1 一维有限元素法 97

4.2 二维有限元素法 101

4.3 关于元素的剖分 109

4.4 近似解的收敛性 112

4.5 关于初一边值问题 117

第二部分 近代变分理论与非线性椭圆方程边值问题 121

第五章 Sobolev 空间 121

5.1 几个常用不等式 121

5.2 平均函数 124

5.3 弱导数 127

5.4 链法则 131

5.5 Sobolev 空间 136

5.6 嵌入定理 139

5.7 嵌入算子的紧性 152

5.8 差商 154

5.9 Laplace 算子特征函数的正则性 157

第六章 Banach 空间中的微分及微分方程 164

6.1 泛函的 Frechet 微分与临界点 164

6.2 涅梅茨基算子 168

6.3 泛函的 Gateaux 微分 171

6.4 抽象函数的积分与微分 176

6.5 Banach 空间中的常微分方程初值问题 181

第七章 临界点理论中的极小极大原理及其在拟线性椭圆方程中的应用 192

7.1 伪梯度向量场 192

7.2 形变定理 199

7.3 极小极大原理 212

7.4 山路引理及其应用 215

7.5 弱解的正则性 222

7.6 半线性椭圆方程的古典解 235

8.1 波霍扎叶夫等式与不可解问题 245

第八章 具临界指数的半线性椭圆方程 245

8.2 具临界指数半线性椭圆方程零边值问题正解的存在问题 247

8.3 方程-Δu=u2?-1+?零边值问题正解的存在定理 261

8.4 方程-Δu=u2?-1+f(x，u)零边值问题有正解的条件 270

8.5 n(≥5)维情形 276

8.6 四维情形 278

8.7 三维情形 280

9.1 几个引理 284

第九章 集中紧性原理与具临界指数的拟线性椭圆方程 284

9.2 集中紧性原理 293

9.3 具临界指数的拟线性椭圆方程 303

附录1 测度与积分 312

附录2 C(?)及L＇(Ω)中列紧性定理的证明 322

附录3 弱收敛与弱紧性 327

附录4 仿紧空间 335

参考文献 338