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第一章 线性微分算子和线性函数空间 1

1.1 线性变换和线性微分算子 1

1.1.1 H空间的一些基本特性 1

1.1.2 映射(或变换) 4

1.1.3 线性微分算子 6

1.1.4 齐次边值问题的平凡解和非平凡解 7

1.1.5 共轭线性微分算子和线性自共轭算子 8

1.2 微分算子的本征值和本征函数 9

1.2.1 本征值和本征函数的定义 9

1.2.2 一维波动方程的本征值和本征函数 10

1.2.3 推广的本征问题 12

1.2.4 本征函数的特性 13

1.2.5 本征函数系完备性的证明 14

1.2.6 本征函数展开 16

1.3 线性微分算子的格林函数 17

1.3.1 逆算子和算子的反演问题 18

1.3.2 格林函数的构造 19

1.3.3 一维泊松方程和波方程的格林函数 20

1.3.4 无限大边界问题 22

1.4.1 最优逼近和余量加权法 24

1.4 用矩量法求解微分方程的边值问题 24

1.4.2 矩量法求算子方程的解析解 25

1.4.3 自共轭算子的变分形式及其与矩量法的一致性 27

第二章 广义函数与广义傅里叶变换 30

2.1 广义函数和广义函数空间 31

2.1.1 广义函数的定义及基本性质 32

2.1.2 关于δ函数的初步讨论 34

2.1.3 广义函数的傅里叶变换 37

2.2 波动方程边值问题中的广义函数 42

2.2.1 半无限大域上的广义函数和广义傅里叶变换 42

2.2.2 有界域问题的广义函数和广义傅里叶变换 46

2.2.3 E空间中的非纯函数和函数的纯化 49

2.3 一维波动方程边值问题的广义傅里叶变换 52

2.3.1 柯西问题和柯西问题的基本解 52

2.3.2 泊松方程的基本解 54

2.3.3 无限大域下一维波动方程的格林函数问题 57

2.3.4 半无限大域下一维波动方程的格林函数问题 59

2.3.5 有解域下一维波动方程的格林函数问题 60

2.3.6 小结——关于奇异性问题的讨论 62

第三章 矢量偏微分算子和矢量波函数空间 66

3.1 矢量偏微分运算符与矢量场论的一般知识 67

3.1.1 矢量偏微分运算符 68

3.1.2 矢量场论中的一些常用的数学公式 70

3.1.3 矢量算符和矢量偏微分算子 72

3.1.4 矢量偏微分算子的自共轭性和自共轭边界条件 74

3.2 亥姆霍兹定理和广义亥姆霍兹定理 79

3.2.1 自由空间中的亥姆霍兹定理与旋量场、无旋场的特性 79

3.2.2 有界域下亥姆霍兹定理 82

3.2.3 二维系统下的广义亥姆霍兹定理 84

3.2.4 广义亥姆霍兹定理——电磁场在矢量波函数空间上的完全射影定理 86

3.3 矢量偏微分算子方程本征问题的分离 88

3.3.1 矢量拉普拉斯算子本征问题的分离 89

3.3.2 旋量场算子本征问题的分离 90

3.3.3 特征函数及其对应的标量边界条件 92

第四章 规则边界下标量场算子的本征问题和格林函数问题 95

4.1 标量场算子的本征问题 95

4.1.1 直角坐标下标量场算子的本征问题 96

4.1.2 圆柱坐标下标量场算子的本征问题 99

4.1.3 球坐标下标量场算子的本征问题 104

4.2 三维本征函数系的完备性和本征函数变换问题 108

4.2.1 三维标量场算子本征函数系的完备性问题 108

4.2.2 三维标量场算子的本征函数展开和本征函数变换 110

4.2.3 用矩量法求算子的反演——格林函数的普遍形式 116

4.3 标量场算子的格林函数问题 118

4.3.1 波动方程非齐次问题的一般讨论 118

4.3.2 具有无限大边界的标量场算子的格林函数 120

4.3.3 有界域下标量场算子的格林函数 122

第五章 矢量场算子的本征问题和格林函数问题 126

5.1 矢量场算子的本征问题 126

5.1.1 标准的L，M和N类矢量波函数 127

5.1.2 几种特殊矢量波函数模式的讨论 128

5.1.3 矢量波函数的正交性和归一化积分 131

5.1.4 归一化的矢量波函数及其正则化问题 134

5.2 调和矢量函数空间中的广义函数和广义傅里叶变换 136

5.2.1 矢量波函数的完备性问题 136

5.2.2 矢量函数空间中的δ函数 142

5.2.3 矢量函数的本征函数变换和并矢格林函数问题 145

5.3 非齐次旋量场算子问题分离成标量的形式 148

5.3.1 用标量格林函数形式求解并矢格林函数 149

5.3.2 从电子注与波的相互作用看激励电流的广义函数性质 154

5.3.3 总结与讨论 157

参考文献 158