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第一章 n阶行列式 1

一、行列式定义的运用 1

二、直接用行列式性质计算 3

三、化为三角行列式 6

(一)箭形行列式 7

(二)可化为箭形的行列式 7

(三)行(列)和相等的行列式 9

(四)其它类型 10

四、降阶法 11

五、升阶法 14

六、递推法 17

七、数学归纳法 22

八、利用范德蒙行列式的结果计算 25

九、代数余子式的计算 28

习题一 30

第二章 矩阵 35

一、矩阵的乘法 35

二、方阵的幂 36

三、方阵的行列式 40

四、逆矩阵的计算 42

(一)利用定义和运算律求逆矩阵 42

(二)利用伴随矩阵求逆矩阵 44

(三)用初等变换求逆矩阵 46

(四)分块对角阵求逆矩阵 47

五、矩阵方程求解 50

六、求矩阵的秩 52

七、初等方阵与等价矩阵 54

八、四分块矩阵的有关结果 56

九、一些特殊矩阵 59

习题二 62

第三章 向量 66

一、向量组的线性相关性 66

二、求向量组的秩及最大无关组 72

(一)逐个选录法 72

(二)利用矩阵的秩和子式求最大无关组 73

(三)利用矩阵的初等变换求最大无关组 74

三、向量组的秩与矩阵的秩的证明 76

(一)向量空间的判定 80

四、向量空间 80

(二)基与维数的求法 82

(三)过渡矩阵及向量坐标的求法 84

习题三 89

第四章 线性方程组 91

一、用克莱姆法则求解线性方程组 91

二、用消元法求解线性方程组 93

三、齐次线性方程组的求解方法 95

四、非齐次线性方程组 101

五、含参数线性方程组的求解方法 103

习题四 108

一、向量的内积、长度与夹角 111

第五章 矩阵的相似对角化 111

二、正交向量组 113

三、特征值与特征向量 114

四、相似矩阵 120

五、正交矩阵 122

六、相似对角化的条件及计算 126

七、实对称矩阵正交相似于对角阵的计算 128

八、可对角化矩阵的应用 130

(一)求方阵的幂 130

(二)求行列式 131

(三)由特征值与特征向量反求矩阵 132

(四)判断矩阵是否相似 134

九、哈密尔顿—凯莱定理及其应用 135

习题五 137

第六章 二次型 139

一、二次型的矩阵表示及其秩 139

二、用正交变换化二次型为标准形 141

三、用可逆线性变换化二次型为标准形 144

(一)配方法 144

(二)矩阵的合同 146

(三)初等变换法 147

(四)惯性定理和实二次型的规范形 149

四、正定二次型与正定矩阵 151

习题六 157

一、线性空间的判定 159

第七章 线性空间与线性变换 159

二、线性子空间的判定 161

三、线性相关性的判别 162

(一)利用定义判别 162

(二)利用线性空间的同构判别 165

四、基与维数的求法 166

(一)按定义求线性(子)空间的基与维数 166

(二)生成子空间基与维数的求法 167

五、坐标的求法 167

(一)待定法 167

(二)利用坐标变换公式 168

(一)待定法 170

六、过渡矩阵的求法 170

(二)中介法 171

七、线性变换的验证 171

八、求线性变换的矩阵 173

(一)利用定义求线性变换的矩阵 173

(二)用相似关系求线性变换的矩阵 174

(三)综合类型 175

九、求线性变换运算的矩阵 176

十、线性变换的值域与核的求法 177

十一、求线性变换的特征值与特征向量 179

十二、线性变换的矩阵为对角阵的确定 180

习题七 182

习题答案及提示 184