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第一篇 实变数函数论 1

第一章 集，直线上的点集 1

1 集和集的运算 1

2 映照，--对应和特征函数 12

3 势的概念 18

4 可列集和连续点集的势 23

5 势的比较 33

6 直积集，等价关系，半序集 35

7 直线上的点集 40

8 直线上的零集 56

第二章 勒贝格积分 61

1 C1类函数的勒贝格积分 61

2 黎曼可积函数 77

3 勒贝格可积函数类L 83

4 勒贝格积分的极限定理 91

5 无限区间上的勒贝格可积函数 103

第三章 勒贝格可测集与可测函数 113

1 可测函数及其初等性质 113

2 可测集及其初等性质 117

3 可测集的构造 125

4 可测函数的构造，叶戈洛夫定理与鲁津定理 135

5 可测集上的勒贝格积分 144

6 度量收敛 151

7 二重勒贝格积分及富比尼定理 160

第四章 单调函数，勒贝格不定积分 170

1 单调函数与单调的跳跃函数 170

2 导数，单调函数的导数 178

3 有界变差函数 194

4 不定积分和全连续函数 209

5 奇异函数和单调函数的分解 220

6 黎曼-斯蒂阶积分 223

7 勒贝格-斯蒂阶积分 246

第二篇 泛函分析 249

第五章 距离空间 249

1 距离空间的基本概念 249

2 线性空间 259

3 线性赋范空间 264

4 空间L?(E) 267

5 内积空间 277

6 距离空间中的点集 283

7 稠密集 294

8 完备性 303

9 连续映照 314

10 不动点原理 318

11 距离空间的完备化 328

12 实数理论 336

第六章 有界线性泛函与有界线性算子 343

1 有界线性算子的概念 343

2 线性连续泛函的表示 354

3 线性有界泛函的延拓 364

4 C［a,b］上线性连续泛函的表示 379

5 线性算子的正则集与谱，不变子空间 386

6 致密集 399

7 全连续算子 419

8 逆算子定理 430

9 共鸣定理及其应用 433

10 弱收敛 447

第七章 希尔伯特空间及其中的全连续算子 455

1 直交分解 455

2 线性连续泛函的表示，共轭空间 459

3 共轭算子 462

4 希尔伯特空间的直交系 468

5 可析的希尔伯特空间 476

6 希尔伯特空间上的全连续算子的特征值与特征向量 483

7 弗列德荷蒙的理论 492

8 含复参数μ的积分方程 500

9 希尔伯特空间上自共轭全连续算子 505

第八章 希尔伯特空间上算子谱分析 519

1 投影算子 519

2 双线性埃尔米特泛函与自共轭算子 531

3 谱系的概念 535

4 自共轭算子的谱分解 545

5 正常算子与酉算子 560

6 酉算子的谱分解 573

7 无界自共轭算子的谱分解 578

附录 巴拿赫空间上全连续算子的黎斯-啸德尔理论 591

1 具有可列基的巴拿赫空间及其上的全连续算子 591

2 巴拿赫空间上全连续算子的一些基本性质 596

3 全连续算子的黎斯-啸德尔理论 600

4 线性有界算子的谱分解 603