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目录 1

第一章　微分几何基础 1

§1.1 曲线和曲面的参数表示 1

1.1.1 曲线的参数表示 1

1.1.2 曲面的参数表示 3

1.1.3　旋转曲面 7

§1.2　曲线论 8

1.2.1　矢量微分及泰勒定理（Taylor s theorem） 8

1.2.2　曲线的切线和曲率 11

1.2.3　曲线的主法线和副法线 13

1.2.4　曲线的挠率 15

1.2.5　佛锐耐-塞雷（Frenet-Serret）公式 18

1.2.6 曲线在一点邻域的性质 22

§1.3　曲面论 25

1.3.1 曲面上坐标曲线的切矢和切平面 25

1.3.2　曲面的第一基本形式 26

1.3.3　曲面的面积 28

1.3.4 曲面的第二基本形式 29

1.3.5　曲面上的曲率 31

1.3.6　法截线与麦尼埃（Meusnier）定理 33

1.3.7 曲面上点的分类 35

1.3.8　欧拉（Euler）公式 37

1.3.9 曲面的第三基本形式 40

1.4.1　空间曲线族的包络 41

§1.4　包络、直纹面、可展曲面及其他 41

1.4.2　直纹面 42

1.4.3　可展曲面 43

1.4.4　切线面 45

1.4.5　参数曲线的弧长、面积和体积 45

第二章　代数插值和逼近 48

§2.1　插值和逼近 48

§2.2　线性插值与抛物插值 49

2.2.1　线性插值 49

2.2.2　抛物插值 50

§2.3　拉格朗日（Lagrange）插值法 51

2.4.1　差商及其性质 54

§2.4　牛顿（Newton）插值法 54

2.4.2　牛顿插值法 61

§2.5　埃尔米特（Hermite）插值 64

§2.6　最小二乘逼近 65

第三章　样条函数 69

§3.1　三次样条函数 69

3.1.1　三次样条函数的力学背景 69

3.1.2　用一阶导数表示的三次样条函数 71

3.1.3　用二阶导数表示的三次样条函数 79

3.1.4　三次样条函数的极坐标形式 87

3.1.5　一端具有无穷导数的三次样条 89

3.1.6　曲线中夹有直线段的三次样条 91

3.1.7　三次参数样条 94

3.2.1　用一阶导矢表示的三次样条 97

§3.2　空间样条曲线 97

3.2.2　用二阶导矢表示的三次样条 103

3.2.3　用偶阶导矢表示的五次样条 108

第四章 贝齐尔（Bèzier）曲线 116

§4.1 用顶点矢量表示的贝齐尔曲线 116

4.1.1　曲线方程 116

4.1.2　伯恩斯坦函数的性质 119

4.1.3　贝齐尔曲线的性质 123

§4.2　用边矢量表示的贝齐尔曲线 127

4.2.1　曲线方程 127

4.2.2　贝齐尔基函数的性质 129

4.2.3　贝齐尔曲线的原始定义 131

4.3.1　基本定理的证明 133

§4.3 贝齐尔曲线的几何作图法 133

4.3.2　速端曲线（Hodographs） 135

4.3.3　平面上三次贝齐尔曲线形状的控制 139

§4.4 贝齐尔曲线的拼接、修改和反求顶点问题 141

4.4.1　贝齐尔曲线的拼接 141

4.4.2　贝齐尔曲线的修改 143

4.4.3　反求顶点 144

第五章　B样条曲线 146

§5.1 均匀B样条及其几何性质 146

5.1.1　定义 146

5.1.2　一次B样条 148

5.1.3　二次B样条 150

5.1.4　三次B样条 154

5.1.5　B样条函数的一种快速递推法 159

5.1.6　三次参数曲线的几种等价表示 171

5.1.7　反求顶点 174

§5.2　非均匀B样条 179

5.2.1　定义 179

5.2.2　一次B样条 180

5.2.3　二次B样条 183

5.2.4　三次B样条 192

5.2.5　B样条函数的递推定义 199

5.2.6　非均匀B样条的基本特性 202

§6.1 直纹曲面 210

第六章　曲面 210

§6.2　孔斯（Coons）曲面 212

6.2.1　第一类孔斯曲面 214

6.2.2　第二类孔斯曲面 217

6.2.3　第三类孔斯曲面 222

6.2.4　孔斯曲面的引伸 224

§6.3　张量积曲面 227

§6.4　费格森（Ferguson）曲面 229

§6.5 贝齐尔曲面及其拼合 231

6.5.1　贝齐尔曲面 231

6.5.2　贝齐尔曲面和费格森曲面的等价性 234

6.5.3　贝齐尔曲面的拼合 237

§6.6 B　样条曲面 242