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第七章 插值法 1

§7．1 Lagrange插值 1

一、插值问题 1

二、Lagrange插值多项式 3

三、插值余项的表达式 5

§7．2 Newton插值 8

一、差商的定义及其性质 8

二、Newton插值公式 9

三、差分的定义及其性质 13

四、等距节点的Newton插值公式 15

§7．3 Hermite插值与分段插值 18

一、Hermite插值 18

二、分段插值 22

§7．4 三次样条插值 24

一、三次样条插值的定义 25

二、三次样条插值函数的构造方法 26

三、插值余项 34

习题七 35

第八章 数值积分和数值微分 38

§8．1 数值求积公式的一般形式及其代数精度 38

一、数值求积公式的一般形式 38

二、求积公式的代数精度 39

§8．2 Newton-Cotes公式 41

一、插值型求积公式 41

二、Newton-Cotes公式 42

三、复化求积公式 48

§8．3 Romberg算法 52

§8．4 Gauss型求积公式 55

一、一般理论 55

二、几种Gauss型求积公式 61

§8．5 数值微分 68

一、插值型求导公式 68

二、利用三次样条插值函数求数值导数 71

习题八 72

第九章 常微分方程的数值解法 74

§9．1 概述 74

一、常微分方程初值问题 74

二、建立数值解法的基本思想与途径 77

三、数值方法的截断误差与阶 80

§9．2 Runge-Kutta方法 83

一、二阶Runge-Kutta方法 83

二、四阶Runge-Kutta方法 85

§9．3 收敛性、稳定性与误差控制 87

一、收敛性 88

二、稳定性 89

三、误差控制 92

§9．4 一阶方程组与高阶方程 93

一、一阶方程组 93

二、高阶方程 95

§9．5 边值问题的差分解法 97

一、线性方程边值问题的差分格式 97

二、其它边界条件的讨论 105

三、非线性方程边值问题 106

习题九 106

第十章 数理方程基本概念 109

§10．1 二阶线性偏微分方程的分类 109

一、偏微分方程的基本概念 109

二、二阶线性偏微分方程的分类 110

三、二阶线性偏微分方程的标准形式 113

四、两个自变量时化为标准形式的变换 115

§10．2 典型二阶线性偏微分方程的建立 120

一、振动过程与波动方程 120

二、热传导方程 125

三、稳定状态与Laplace方程、Poisson方程 130

一、定解条件的数学表示 131

§10．3 定解条件与定解问题的提法 131

二、定解问题的提法 136

三、定解问题的适定性 137

习题十 138

第十一章 定解问题的分离变量解法 140

§11．1 一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法 141

一、分离变量法 141

二、广义解概念 145

三、级数解的物理意义 147

四、热传导方程混合问题的分离变量解法 148

五、各种齐次边界条件下的固有值与固有函数系 149

§11．2 非齐次方程及非齐次边界条件的处理 157

一、固有函数法 157

二、非齐次边界条件的齐次化 162

§11．3 某些区域上二维Laplace方程的分离变量解法 166

一、矩形域上Laplace方程的边值问题 166

二、圆域上Laplace方程的边值问题 170

§11．4 特殊函数在分离变量法中的应用 173

一、Legendre多项式的应用 173

二、Sturm-Liouville方程的固有值问题 177

三、Bessel函数及其应用 179

习题十一 187

第十二章 解定解问题的其它方法 191

§12．1 波动方程的D’Alembert解法 191

一、一维波动方程Cauchy问题的解 191

二、三维波动方程的Poisson公式 199

三、二维波动方程的Poisson公式 204

四、高维波动方程解的物理意义 205

§12．2 积分变换法 206

一、积分变换概念 206

二、Fourier变换及其性质 207

三、Laplace变换及其性质 210

四、定解问题的积分变换解法 215

§12．3 Green函数法 220

一、调和函数的性质 220

二、Laplace方程第一边值问题的Green函数 224

三、球域的Green函数和Poisson积分公式 227

四、解半空间上第一边值问题的Green函数法 229

五、二维情形 231

习题十二 233

第十三章 偏微分方程的数值解法 236

§13．1 椭圆型方程的差分解法 236

一、差分格式的构成 236

二、差分方程解的存在唯一性 240

三、收敛性与误差估计 243

四、一般二阶椭圆型方程第三边值问题的差分格式 246

§13．2 抛物型方程的差分解法 248

一、古典差分格式的构成 248

二、差分格式的稳定性 254

三、差分格式的收敛性 258

四、二维热传导方程的交替方向格式 258

§13．3 双曲型方程的差分解法 261

一、三层显格式 261

二、三层隐格式 263

§13．4 有限元方法 264

一、变分原理 264

二、区域剖分 268

三、面单元分析 269

四、线单元分析 274

五、总体合成与基本方程组 275

习题十三 281

附录一 Jn(x)(n=0，1，2，…，5)的正零点μi(n)(i＝1，2,…，9)的近似值 283

附录二 Fourier变换与Laplace变换简表 284

附录三 习题答案 289

参考文献 298