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第一章 阶的计算法 1

1.1 阶的概念 1

1.1.1 O关系和记号 1

1.1.2 o关系和记号 3

1.1.3 渐近等价关系和记号 4

1.2 阶的估计方法 5

1.2.1 阶关系的积分 5

1.2.2 阶估计的若干定理 6

1.2.3 阶的估计对收敛性的应用 19

1.3 渐近估计定理 24

1.3.1 Bari-Steckin定理 24

1.3.2 Ries-Stens定理 33

1.3.3 Lorentz-Hermann定理 39

第二章 大参数实积分的渐近计算 41

2.1 Laplace渐近方法及其应用 41

2.1.1 Laplace渐近积分定理 41

2.1.2 含参数积分的渐近值举例 47

2.1.3 Post-Widder公式 51

2.1.4 关于Laplace方法的说明 54

2.2 Laplace渐近积分定理的推广 56

2.2.1 基本引理 56

2.2.2 指数积分的渐近性质 60

2.2.3 Laplace渐近积分定理的扩充 67

2.2.4 关于Laplace渐近积分的进一步讨论 72

2.3 隐式参数积分的渐近计算 76

2.3.1 隐式参数积分的渐近定理 76

2.3.2 隐式参数积分的离散化渐近 82

2.3.3 关于隐式参数积分渐近方法的讨论 92

2.4 双参数积分的渐近计算 100

2.4.1 双参数积分的Fulks渐近公式 101

2.4.2 一类较一般的指数积分的渐近值 112

2.5 奇异积分与积分逼近 118

2.5.1 Arnold奇异积分的收敛性 118

2.5.2 Mirakjan型奇异积分的收敛性 124

2.5.3 关于Post-Widder算子的研究 133

2.5.4 Arnold奇异积分的逼近度 139

第三章 大参数复积分的渐近计算 150

3.1 平稳位相原理 150

3.1.1 平稳位相方法 150

3.1.2 平稳位相方法的扩充 156

3.1.3 平稳位相方法应用举例 159

3.2 复积分的渐近方法 162

3.2.1 关于最速下降线的知识 162

3.2.2 Riemann鞍点法 164

3.2.3 复积分的Perron渐近公式 167

第四章 大参数积分的渐近展开 174

4.1 渐近序列与渐近展开 174

4.1.1 渐近序列 174

4.1.2 渐近展开 175

4.1.3 渐近幂级数展开 179

4.2 大参数积分渐近展开的分部积分法 187

4.2.1 Laplace积分的渐近展开 187

4.2.2 Fourier积分的渐近展开 192

4.2.3 具有奇异性的Fourier积分的渐近展开 196

4.2.4 Bleistein一致渐近展开方法 201

4.3 Watson引理 207

4.3.1 Watson引理 208

4.3.2 Watson引理的应用实例 211

4.3.3 Watson引理的推广 224

4.4 大参数围道积分的渐近展开法 227

4.4.1 Debye最速下降法 227

4.4.2 Chester-Friedmann和Ursell方法 234

4.4.3 Watson引理对复积分渐近展开的应用 248

4.5 一类大参数无穷积分的渐近展开 249

4.5.1 Willis渐近展开方法 250

4.5.2 具有Mellin变换的核函数积分的渐近展开 257

4.5.3 具有Laplace变换的核函数积分的渐近展开 259

第五章 级数与序列的渐近计算 261

5.1 Euler-Maclaurin求和公式 261

5.1.1 Bernoulli数与Bernoulli多项式 261

5.1.2 Euler-Maclaurin求和公式 266

5.1.3 Euler-Maclaurin求和公式的加强 270

5.1.4 第二形式的Euler-Maclaurin求和公式 277

5.2 无穷积分计算的展开方法 279

5.2.1 Willis-Tranter展开式方法的充分条件 280

5.2.2 无穷积分的Willis算法 288

5.2.3 关于Willis-Tranter展开式方法的讨论 291

5.3 序列的渐近分析方法 297

5.3.1 Darboux奇点法 297

5.3.2 Haar方法 303

5.3.3 整函数渐近性质的研究 307

第六章 多重积分的渐近分析 310

6.1 大参数多重指数型积分的渐近值 310

6.1.1 关于二次型的一些引理 310

6.1.2 多重指数型积分的渐近计算 316

6.1.3 Laplace渐近积分定理在Rn中的推广 324

6.1.4 被积函数的边界点取极值的Laplace积分 327

6.1.5 二重Laplace型积分的一个渐近定理 336

6.2 高维积分的Mare′chal-Wilkins方法 342

6.2.1 二重积分的Mare′chal-Wilkins方法 342

6.2.2 基本引理及其直接推论 345

6.2.3 高维积分的约化原则 352

6.2.4 无界域上Mare′chal-Wilkins定理 364

6.3.1 含一个参数激烈振荡积分的渐近展开 370

6.3 激烈振荡积分的渐近展开 370

6.3.2 激烈振荡积分带余项的渐近展开式 379

6.3.3 一类有界区域上重积分的近似计算方法 389

第七章 渐近展开的余项估计 396

7.1 Stieltjes最佳逼近 396

7.1.1 Stieltjes问题 396

7.1.2 Stieltjes最佳逼近 397

7.2 渐近展开余项估计方法 402

7.2.1 余项估计的收敛因子 402

7.2.2 余项估计中的Euler变换法 406

附表1 常见特殊函数的渐近展开 409

附表2 Mellin变换表 415

主要参考书 418

主要参考文献 418