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第一章 行列式与Cramer法则 1

§1 行列式的概念 1

1．二阶与三阶行列式 1

2．排列及其奇偶性 4

3．n阶行列式的概念 7

§2 行列式的基本性质 11

§3 简化计算行列式的方法 13

1．把行列式化为三角形行列式来计算 13

2．Laplace降阶法 14

§4 Cramer法则 20

习题一 25

第二章 矩阵及其在解线性方程组上的应用 28

§1 矩阵及其初等变换的概念 29

§2 用矩阵的秩判断线性方程组的解 39

1．矩阵的秩 39

2．线性方程组有解的充要条件 41

3．齐次线性方程组有非零解的充要条件 43

§3 矩阵的线性运算 45

§4 矩阵乘法与矩阵的转置 46

1．矩阵乘法的定义 46

2．矩阵乘法不同于数量乘法的重要特性 48

3．矩阵乘法的基本性质 49

4．方阵的幂 49

5．矩阵的转置 51

§5 逆阵及其在解线性方程组上的应用 52

1．逆阵的概念与性质 53

2．方阵A可逆的充要条件与求A-1公式 54

3．初等方阵与求逆阵的简便方法 60

4．实对称矩阵与正交矩阵 64

5．逆阵在解线性方程组上的应用 65

§6 矩阵的分块 69

1．矩阵的分块 69

2．分块矩阵的运算法则 70

3．分块对角阵 73

习题二 75

第三章 向量空间与线性方程组解的结构 79

§1 n维向量的概念与线性运算 80

1．n维向量的概念 80

2．n维向量的线性运算 82

§2 n维向量的线性相关性与线性无关性 83

1．向量的线性组合与线性表示 84

2．m个n维向量的线性相关性与线性无关性 84

3．m个n维向量线性才目关的充要条件 85

4．单位向量组及其特性 86

5．m个n维向量线性相关的多判别法 87

§3 向量组的极大无关组与向量组的秩 91

1．向量组之间的等价关系 91

2．向量组的极大无关组及其特性 91

3．向量组的秩 96

4．求极大无关组的方法 98

5．解答本章引言中提出的第二个问题 101

§4 向量空间及其基 104

1．向量空间及其子它间的概念 104

2．向量空间的基与维数 106

3．向量在基下的坐标 108

4．基变换与坐标变换 111

§5 线性方程组解的结构 116

1．齐次方程组解的结构 117

2．非齐次方程组解的结构 121

习题三 126

第四章 相似矩阵与矩阵的对角化 130

§1 矩阵的特征值与特征向量 131

1．特征值与特征向量的概念 131

2．特征值与特征向量的求法 134

3．特征值与特征向量的基本理论 139

1．相似矩阵及其基本性质 144

§2 相似矩阵与矩阵的对角化 144

2．矩阵的对角化 146

§3 n维向量的内积 155

1．二维与三维向量的内积 155

2．n维向量的内积及其基本性质 157

3．n维向量的夹角与正交 159

§4 欧氏向量空间及其标准正交基 160

1．欧氏向量空间中的单位向量 160

2．正交向量组及其特性 161

3．正交基与标准正交基 161

4．Schmidt标准正交化方法 165

§5 用正交矩阵把实对称矩阵对角化 170

1．正交矩阵的特性 170

2．实对称矩阵的特征值与特征向量的特性 171

3．用正交矩阵把实对称矩阵对角化 171

§6．用酉矩阵把Hermite矩阵对角化 178

1．问题的提出 179

2．复向量的内积、长度、夹角与正交 180

3．酉空间 及其标准正交基 183

4．酉矩阵与Hermite矩阵的特性 183

5．用酉矩阵把Hermite矩阵对角化 185

习题四 187

第五章 合同矩阵与二次型的标准化 190

§1 用正交变换把实二次型标准化 191

1．n元实二次型——对应于实对称矩阵 191

2．正交变换及其特性 192

3．合同矩阵与合同变换 193

4．用正交变换把实二次型标准化 194

§2 用配方法把实二次型标准化 198

§3 用初等变换法把实二次型标准化 201

§4 惯性定理 204

§5 正定二次型及其判别法 207

习题五 212

第六章 线性空间与线性变换 214

§1 线性空间的概念及其基本性质 215

1．线性空间的概念 215

2．线性空间的基本性质 218

3．子空间及其判别定理 219

§2 向量的线性相关性与线性无关性 220

§3 线性空间的基与维数、向量在基下的坐标 220

§4 基变换与坐标变换 223

§5 线性变换及其基本性质 226

1．映射与变换 228

2．线性变换的概念 228

3．线性变换的基本性质 230

4．线性变换的乘法与可逆线性变换 231

5．线性变换的加法与数乘 232

§6 线性变换的矩阵 232

1．线性变换——对应于基下的矩阵 233

2．线性变换的运算与矩阵的运算的关系 237

3．求一适当的基使线性变换的矩阵最简单 238

习题六 244

习题答案与疑难习题解答 248

习题一 248

习题二 250

习题三 256

习题四 264

习题五 274

习题六 283

附录一 291

定理4—4的证明 291

定理4—5的证明 292

附录二 295

1．入矩阵及其标准形 295

2．入矩阵的初等因子及其求法 296

3．使不能对角化的方阵相似于Jordan标准形 297