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第1章 R~n空间 1

§1．1 行列式 1

1． 行列式定义 1

2． 行列式性质 4

3． 克莱姆法则 7

4． 乘法公式 9

习题1-1 10

§1．2 R~3空间 13

1． 空间直角坐标系 13

2． 空间两点间距离公式 14

3． 向量及其线性运算 15

4． 向量的坐标表示 18

5． 数量积 20

6． 向量积 23

7． 混合积 25

习题1-2 26

§1．3 面与线 27

1． 平面方程 27

2． 直线方程 29

3． 线面关系 31

4． 曲面方程 33

5． 曲线方程 36

6． 二次曲面 38

习题1-3 41

1． n维向量与R~n向量空间 同构 44

§1．4 R~n空间 44

2． 内积与R~n欧氏空间 46

3． 向量的线性相关性 47

习题1-4 50

§1．5 矩阵 51

1． 矩阵及其运算 51

2． 矩阵的秩与矩阵的初等变换 55

3． 满秩线性方程组与逆矩阵 62

4． 分块矩阵 70

习题1-5 72

§1．6 线性方程组的通解结构 75

1． 齐次线性方程组的通解结构 75

2． 非齐次线性方程组的通解结构 78

习题1-6 83

第2章 函数与极限 86

§2．1 集合与映射 86

1． 集合 86

2． 关系 87

3． 上确界与下确界 89

4． 映射 90

习题2-1 92

§2．2 一元函数 92

1． 一元函数概念 92

2． 反函数 95

3． 函数的四种特性 96

4． 函数的运算 97

习题2-2 99

5． 初等函数 99

§2．3 无穷小与无穷大 100

1． 常量与变量 100

2． 无穷小量 101

3． 无穷大量 104

4． 无穷小与无穷大的关系 106

5． 用∞表示的过程 106

6． 无穷小运算 107

习题2-3 108

§2．4 一元极限 109

1． 一元极限定义 109

2． 一元极限性质 112

3． 极限运算法则 114

4． 一元极限存在准则 117

习题2-4 119

§2．5 无穷小比较 120

1． 两个重要极限 120

2． 无穷小的比较 124

习题2-5 126

§2．6 数项级数 127

1． 数项级数敛散性定义 127

2． 级数性质 129

3． 正项级数敛散性判别 131

4． 变号级数敛散性判别 138

习题2-6 141

1． 距离空间 143

§2．7 n维欧氏空间R~n中的点集 143

2． R~n空间的形象化 144

3． R~n中点集的一般概念 144

习题2-7 147

§2．8 函数与极限的一般概念 147

1． 函数的一般定义 147

2． 多元函数 148

3． 矢值函数 149

4． 向量函数 150

5． 向量序列(点列)的极限 150

6． 函数极限的一般定义 151

7． 多元函数的极限 152

10． 极限的性质与运算法则 153

9． 向量函数的极限 153

8． 矢值函数的极限 153

习题2-8 154

§2．9 函数的连续性 154

1． 一元函数的连续性 154

2． 间断点 156

3． 连续的一般概念 157

4． 有界闭区域上连续函数的性质 157

5． 初等函数的连续性 159

习题2-9 161

第3章 导数与微分 162

§3．1 导数概念 162

1． 实例 162

2． 导数定义 164

4． 导函数 166

3． 可导与连续的关系 166

习题3-1 168

§3．2 求导法则与导数基本公式 170

1． 函数的和差积商的求导法则 170

2． 反函数的求导法则 172

3． 复合函数求导法则 173

4． 导数基本公式 174

习题3-2 176

§3．3 偏导数与梯度 177

1．偏导数 177

2．梯度 180

习题3-3 180

1．一元函数的微分 181

§ 3．4微分 181

2．多元函数的微分——全微分 186

3．矢值函数的微分、曲线的切线与法平面 188

4．向量函数的微分 191

习题3-4 194

§3．5 链法则 196

1． 全导数公式 196

2． 多元复合函数求导法则 198

3． 向量复合函数求导法则 200

4． 一阶微分形式不变性 201

习题3-5 202

1． 逆映射存在定理 203

§3．6 隐函数及其求导法则 203

2． 一个方程所确定的隐函数存在定理及求导法则 205

3． 由方程组所确定的隐函数组的存在定理及求导法则 208

习题3-6 210

§3．7 高阶导数 211

1． 一元函数的高阶导数 211

2． 由参数方程所确定的函数的高阶导数 213

3． 矢值函数的高阶导数 214

4． 高阶偏导数 214

5． 海赛矩阵 216

6． 隐函数的高阶导数与高阶偏导数 217

习题3-7 219

1． 函数的极值点 费马引理 221

第4章 中值定理与导数应用 221

§4．1 中值定理 221

2． 罗尔定理 222

3． 柯西定理 222

4． 拉格朗日定理 223

5． 函数的增减性判别 224

6． 多元函数的拉格朗日定理 225

习题4-1 226

§4．2 洛必大法则 227

1． O／O型未定式 227

2． ∞／∞型未定式 229

3． 其他类型未定式 230

§4．3 泰勒公式 232

1． 一元泰勒公式 232

习题4-2 232

2． 几个常用的麦克劳林公式 235

3． 多元泰勒公式 237

习题4-3 238

§4．4 一元函数图形研究 239

1． 函数取极值的条件 239

2． 一元函数的凹凸性与拐点 241

3． 渐近线 243

4． 函数作图 245

习题4-4 246

§4．5 曲率 247

1． 曲率定义 247

2． 曲率公式 249

3． 曲率圆 250

习题4-5 252

§4．6 曲面的切平面与法线 253

习题4-6 255

§4．7 方向导数 256

习题4-7 258

第5章 线性空间与线性变换 260

§5．1 线性空间 260

1． 线性空间的概念 260

2． 基底与坐标 262

3． 基变换与坐标变换 265

4． 线性子空间 268

习题5-1 271

5． 同构 271

§5．2 线性变换 274

1． 线性变换的概念 274

2． 线性变换的运算 275

3． 线性变换的矩阵表示 277

4． V→V的线性变换对于不同基底的矩阵 282

5． 特征值与特征向量 284

习题5-2 288

§5．3 正交变换 290

1． 向量的正交性 290

2． 标准正交基 293

3． 正交变换 296

习题5-3 298

1． 二次型及其矩阵表示 300

§5．4 二次型 300

2． 二次型化法式 301

3． 用正交变换将二次型化为法式 304

4． 惯性律与正定二次型 307

习题5-4 311

第6章 多元极值与最值 313

§6．1 多元函数极值的判定 313

习题6-1 316

§6．2 最值问题 317

习题6-2 318

§6．3 条件极值 319

习题6-2 321

习题答案 323