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第一章 Cauchy定理 1

1 同伦形式的Cauchy定理 1

1.1 解析函数沿连续曲线的积分 1

1.2 同伦 3

1.3 同伦形式的Cauchy定理 4

1.4 封闭曲线的指标 7

2 同调形式的Cauchy定理 9

2.1 链与闭链 9

2.2 同调形式的Cauchy定理 11

3 局部Cauchy定理的推广 14

3.1 连续函数沿可求长曲线的积分 14

3.2 局部Cauchy定理的一种推广 18

1.1 Lindel?f定理 23

1 Lindel?f-Phragmén定理 23

第二章 最大模原理 23

1.2 Phragmén定理 25

2 三圆定理 28

2.1 凸函数 28

2.2 三圆定理与三直线定理 30

3 Schwarz引理及其应用 32

3.1 Schwarz引理 32

3.2 单位圆盘到自身的共形双射 35

3.3 用解析函数的实部估计函数的模 36

第三章 整函数与亚纯函数 39

1 无穷乘积 整函数因子分解定理 39

1.1 无穷乘积 39

1.2 无穷乘积收敛的判别法 40

1.3 解析函数项无穷乘积 41

1.4 整函数的因子分解定理 42

2 Picard定理 47

2.1 Bloch定理 47

2.2 Landau定理和Picard第一定理 51

2.3 Schottky定理和Picard第二定理 53

3 Runge定理 亚纯函数部分分式分解定理 58

3.1 两个预备定理 58

3.2 Runge定理 61

3.3 亚纯函数的部分分式分解定理 67

第四章 共形映射 70

1 解析函数正规族 70

1.1 概念及性质 70

1.2 正规定则 73

1.3 极限函数的性质 76

2 Riemann映射定理 77

2.1 一个引理 77

2.2 Riemann定理 78

2.3 映射函数的边界性质 80

3 多连通区域的映射定理 86

3.1 单叶函数类S 87

3.2 多连通区域的共形映射 91

第五章 解析开拓及Riemann曲面初步 97

1 解析开拓 98

1.1 Schwarz对称原理 98

1.2 幂级数的解析开拓 98

2 单值性定理 101

3.1 二维流形 106

3.Riemann曲面的概念 106

3.2 Riemann曲面的定义 108

3.3 Riemann曲面的例 110

3.4 曲面的基本群 111

3.5 覆盖曲面 115

3.6 覆盖变换与覆盖变换群 118

第六章 调和函数与Dirichlet问题 122

1 调和函数及次调和函数 122

1.1 调和函数及其序列 122

1.2 次调和函数 125

2 Dirichlet问题与调和测度 127

2.1 Dirichlet问题 127

2.2 Green函数 133

2.3 调和测度 137

第七章 Γ函数和B函数 143

1 Γ函数 143

1.1 Γ(z)的积分定义 143

1.2 Γ(z)的无穷乘积表示 145

1.3 Γ(z)的线积分表示 148

1.4 Stirling公式 151

2 函数B(z，ζ) 157

2.1 复变量B函数的定义 157

2.2 B函数和Г函数的关系 158

第八章 椭圆函数 160

1 定义及一般性质 160

1.1 椭圆函数的定义 160

1.2 椭圆函数的性质 162

1.3 有关二重级数的引理 164

2 一些重要的函数 166

2.1 函数？(z) 166

2.2 函数ζ(z) 167

2.3 函数σ(z) 170

3 椭圆函数所满足的方程 173

3.1 ？(z)所满足的微分方程 173

3.2 椭圆函数间的有理关系 176

4 一些重要的函数(续) 178

4.1 函数σf(z) 178

4.3 Jacobi椭圆函数 181

4.3 准椭圆函数 185

1.1 Cauchy型积分概念 189

1 Cauchy型积分和Cauchy主值积分 189

第九章 Cauchy型积分 189

1.2 Cauchy主值积分 190

2 Plemelj公式和Πрнвалов定理 194

2.1 Plemelj公式 194

2.2 分区全纯函数 198

2.3 Cauchy型积分的边值和Cauchy主值积分的导数 199

2.4 Πрнвалов定理 200

3 高阶奇异积分和推广的留数定理 204

3.1 留数定理的直接推广 204

3.2 高阶奇异积分 207

3.3 推广的留数定理 208

参考文献 212

索引 213